l570 ACADÉMIE DES SCIE^•CES. 



» Celii posé, proposons-nons de résonclro le problème siiivanl : 

 » Trouver une fonction Y (m) vè'ijianl V équation fonclionncllc ( ' ) 



(3) Y{m) = \fp{m,)G{m,m,)\{m,)d-'^f{Tn), 



où\ est un paramHre, f{jn) une fonction donnée continue, p{7n) une autre 

 fonction donnée, continue, positive et ne s' annulant pas dans (D). 

 » Cherchons V(//?) sous la forme de la série 



(4) V(m) = ro(m) 4- li', {m) + à-(\,(//?) + , ..-^\''v^{m) -f-. . . 

 où, en verlu de (3), 



(5) çjm)=f(m), i\(m) = jG(m, w, )/;(/??, )('^_, dV. 



» Les fondions ^'^ (/?• ^ i , 2, 3, . . . ) ainsi que lenrs dérivées du premier 

 ordre restent continues dans l'espace tout enlier; elles satisfont aux équa- 

 tions 



(6) Av,,= o à l'extérieur de (S) 



et se comportent à l'infini comme un potentiel newlonien. 

 Posons 



la dernière de ces intégrales étant étendue à l'espace tout entier, la pre- 

 mière au domaine (D). Il est aisé d'établir, en tenant compte de (1), (2), 

 (5) et (6), les inégalités suivantes : 



<'A<Qv/W,_,, W,<Q;W,_,, W|<W,.,W/,,., 



y/wl. ^^W; w,. 



fim 



d-. 



Q, Q,, N étant des nombres fixes ne dépendant pas de k. 



» Ces inégalités étant établies, nous démontrerons sans peine, moven- 

 nant la inélhode connue de M. Poincaré {Ren'L di Palermo, 1894), ces 

 llicorèmes généraux : 



» T. La solution de V équation (3) est une fonction méromorplic en\ n'ayant 



(') Comparer Ivxn Fiikoholm, Acla maUiemalica, t. XXVII, 1908. -^ David ÎIu.bert, 

 ISachrichten der k. Gcsellsdiaft der Wissenscliaften. GcHlingen, Heft I, 1904. 



