SÉANCE DU 20 JUIN 190/i. 1371 



que des pôles simples, réels et positifs 1,, lo, . . ., ^a, . . ., indéfiniment croissant 

 avec l'indice k. 



» IL Tout domaine (D), limité par une surface (S ), pour laquelle on peut 

 résoudre le problème de Dirichlet, donne lieu à une infinité de fonctions fon- 

 damentales V, , V^, . . . , Va, . . ., continues et vérifiant les équations 



1 k{in) = \j,iG{m,m,)p{ni^y ,,{mf)d~\ 



p(m)Yl(m) dT = i, p(m)Yn(m)Ye{m) d^ — o, si 7^^/. 



Les fonctions Y/^ sont proportionnelles aux résidas de la fonction V(a/z) corres- 

 pondant aux pôles Ijf (k = i, 2., '^, .. .). 



)) Par la même mélliode, légèrement modifiée, on peut démontrer 

 l'existence d'une infinité de fonctions fondamentales d'une autre catc- 

 £rorie satisfaisant aux conditions 



^k = ^A / G(m, mi) p(m^)Y/,(m^)ds {k — \ , 2, 3, . ..), 

 l'intégrale étant étendue à la surface (S). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions sphériques. 

 Note de M. Niels Nielsen, présentée par M. Emile Picard. 



« Dans une Note récente {Comptes rendus, 3o mai 1904) j'ai donné des 

 solutions particulières des deux équations fonctionnelles que j'ai prises 

 comme définition des fonctions sphériques; pour déterminer maintenant 

 la fonction sphérique la plus générale désignons par Y^i^) et F'^'''(.'r) 

 les fonctions définies à l'aide des formules (6) ou (6 bis), puis remarquons 

 que l'équation fonctionnelle (2) est une équation aux différences finies du 

 second ordre, nous verrons tout d'abord que la fonction sphérique la 

 plus générale YC'''\x) doit se présenter sons cette forme 



(7) R^"(^) = A^''^(.r) F;"(-^) + B^'"(^) FJX-^)' 



où les coefficients A et B doivent satisfaire à cette condition de périodicité 



(7 bis) A^"^' {^x)=^ A^x^)' fi''""^' C-^) = i^^'X^) ; 



c'est-à-dire que nous avons à déterminer ces deux fonctions A et B telles 

 que K'^'\x) satisfera aussi à l'équation fonctionnelle (i)- 



