ACADEMIE DES SCIENCES. 



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» A ccl égard, introduisons dans (i) l'expression (-y), nous aurons cette 

 condition nécessaire el suffisante à la fois 



w 



f;'"(^)d^'^''"(^) + f:''(^)DxB^'X'^) = o. 



» Supposons maintenant que A et B ne soient j)as indépendants de x 

 tous les deux, nous aurons, en outre de (8), 



(8 bis) 





c'est-à-dire que le |)remier membre de (Suis) doit être une fonction pério- 

 dique de n, en ayant la période additive -h i. Or, je dis qu'une telle pério- 

 dicité est impossible. 



» En effet, cherchons le déterminant fonctionnel 



(9) 



A=^ 



v]-''(a^) d,f;"(.^)- 



une formule très connue montrera que A n'est pas généralement égal à 

 zéro, tandis que la formule (i) donnera immédiatement 



(g bis) 



A= — 



a;- 



vy^oc) ¥Y'^\x) 



» Développons maintenant le déterminaiit figurant au second membre 

 de (f) bis), puis divisons par F2'"(a7) et F"2'"^'(a;) les deux membres de 

 l'équation ainsi obtenue, nous aurons immédiatement 



F^,' "(a;) Fl'"-^\a-) ( /i -M ) F^' "{a:) F^- "+' ( .r ) ' 



c'est-à-dire que l'équation (8 bis) est impossible, de sorte que nous avons 

 démontré ce théorème fondamental darts la théorie des fonctions s])hé- 

 riques : 



» Désignons par V^"{x) et ¥'.,"{x) les fonctions sphériqiies parliciiliêres 

 définies à Vaide des deux groupes de formules (6) et (G bis), la fonction 

 sphérique la plus générale Y^"'^'\x) se présente sous cette forme 



(lo) K^'"(^) = A(v,7i)F;«(^-) + l^(^''0F2'"(^)' 



où A <?/ B sont des fonctions arbitraires de v et n assujetties à satisfaire seule- 

 ment à cette condition de périodicité 



(lo his) A(v, n -M) = A(v, n), B(v, n-\-i)= B(v, n); 



