SÉANCE DU 20 JUIN 1904. l^)-]^ 



cesl-à-dire que R'''"(a?) est toujours une fonction analytique de son argu- 

 ment X. 



» Le polynôme entier P'''''^(^') du degré n de x que nous désignons 

 comme hi fonction sphérique de première espèce est défini dans toute 

 l'étendue du plan des x; quant à ÇY''^(x) que nous désignons comme la 

 fonction sphérique de seconde espèce, la définition (6 bis) n'est valable 

 que si \x\^i. Or, une formule bien connue, due à Euler, donnera après 

 un calcul simple, pour la fonction sphérique de seconde espèce, cette 

 expression intégrale 



ê 



(il) o^'"(^) = 2-''^«+'r(/? +v+^):c"+' r {t-x- — iy''"'^^{i - lydt, 



où le chemin d'intégration est la partie correspondante de l'axe des 

 nombres positifs. La formule (11) nous donne évidemment le prolonge- 

 ment analytique de Q^'"(^), parce que l'intégrale définie susdite est con- 

 vergente pour une valeur finie quelconque de a;, ^ = =±: i excepté. 



)) Appliquons maintenant la formule générale (10), nous aurons, pour 

 la fonction QC'(^') définie dans (6), une expression de cette forme 



Q';-(^) = A(v, 7i)P^«(^) ^- B(v, ^0 q'^'\x). 



)) Or, appliquons cette formule intégrale 



(12) QT(^)= ^''^'r(v+ ';-\x f (i- i'x^y""'dt, 



puis remarquons que le déterminant A se présente sous cette forme 



^ = c{i — x^') 



1 



V — - 



où C est indépendant de x, nous aurons, pour <^\'"{x), une expression de 

 cette forme 



(i3) Qr(^) = £2^V^r(v) P'"(^) - e~^'""'^''' q'^\x), 



où nous avons posé z = ±i. 



» Posons particulièrement v = -; nous retrouvons une suite de résultats 



bien connus, mais déduits d'une autre manière. On j)eut développer main- 

 tenant, de ce point de vue, une théorie nouvelle des fonctions sphériques. » 



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