SÉANCE DU 20 JUIN 1904* - 1375 



M Nous aurons, en effet, à démontrer l'impossibililé d'une idenlilé 

 telle que : 



(2) Q, (r)c^-'^'+ Q,(.)e'^^- + . . .+ 0„(:^)/"'^^= Q(^), 



où l^-) ne sont plus des fonctions analytiques , comme dans les idenlités 

 ordinaires de M. Borel, car les Pi(^) ont la forme suivante : 



qi n'élanl pas une constanle ni une fonction analytique de z\ en effet, les 

 foi mules (i) montrent que les qi ne dépendent que de r == | r |. 



» Les Q,(^) croissant moins vite que ë' i'"S')-'..(iog;) •< g{_ \^^ Pi(2) croissant 

 plus vite que /P(logr)P'. . .(log'')^'^» (a. étant un nombre positif), nous 

 démontrons, en suivant le procédé même de AI. Borel, l'impossibilité de 

 l'identité (2). Il est vrai que nous aurons à appliquer le théorème de 

 M. Hadamard (sur le module minimum) à des fonctions non analytiques, 

 mais toute difficulté sera écartée si l'on tient conjpte des résultats de 

 M. Wimàn. Il â, danâ son travail plus haut cité, établi le théorème de 

 M. Hadamaid pour la fonction F,(i;) du paragraphe précédent, fonction 

 qui n'est pas non plus analytique. Nous n'avons qu'à appliquer ce résultat 

 de M. Wiman pour achever aisément la démonstration. 



» 3, J.e fL\it que F, (5) obéit aux inégalités de MM. Boutroux et Lindelof 

 me conduit aussi au théorème suivant : 



» F(:;) èlanl une foi.clion entière d'ordre ^ et à croissance régulière, si art 

 la multiplie par une autre fonction entière G(^) quelconque d'ordre au plus 

 égal « p (' ), le produit, lorsque son oidre est égal à p, est toujours à crois- 

 sance régulière. 



» Dans cet énoncé, il faut supposer que F(^) n'est pas exceptionnelle 

 au sens de M. Wiman. Nous sommes affranchis de cette restriction dans le 

 cas où G (s) est aussi une fonction à croissance régulière. » 



(*) D'une façon plus précise, Tordre de G(5) ne doil pas dépasser celui de F(i), 

 des ordres étant pris dans le sens large du mot, conformément à la définition de 

 M. Ernst Lindelof {Acia SocinLatis scientiaium Fennicœ, t. XXXI, n° 1, 1902). 



