SÉANCE DU 2 JANVIER igoS. 29 



respondant à x. Ceci étant, toute opération fonctionnelle continue dans un 

 ensemble continu prend au moins une fois dans cet ensemble chacune des 

 valeurs comprises entre deux quelconques des valeurs qu'elte y prend. 



Une autre proposition nécessite pour sa démonstration d'importantes 

 modifications au raisonnement qu'on emploie dans le cas particulier des 

 fonctions d'une variable, afin de se passer de l'emploi des intervalles. C'est 

 la suivante : la condition nécessaire et suffisante pour qu'une série d'opérations 

 fonctionnelles continues U''', . . ., U'"', . . . {définies dans un ensemble compact 

 et fermé E ^'éléments quelconques) ait pour somme une opération U con- 

 tinue dans cet ensemble, est que cette série converge quasi uniformément dans 

 cet ensemble. Nous disons que la série converge quasi uniformément vers U 

 dans E si : 1° elle converge vers U en tout élément de E; 2° étant donnés 

 deux nombres positifs e et N, on peut trouver N'^N tel que, en tout élé- 

 ment A de E, on puisse choisir un entier n^ compris entre N et N' pour 

 lequel on ait 



|LI,-[Ui"+Ur + ...+ Ui'-']|<s. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les substitutions à trois variables et les 

 courbes invariantes par une transformation de contact. Note de M. S. 

 Lattes, présentée par M. P. Painlevé. 



1. Je me suis proposé de déterminer les courbes et les surfaces inva- 

 riantes par une substitution à trois variables et passant par un point double 

 de la substitution. Dans le domaine d'un tel point, la substitution se ramène 

 à la forme 



(i) X = S,a;-f-F(j7,r, s), Y=S._y + ^{x,y,z), Z = S.iZ-\-Q(x,y, z), 



S, , S2, S3 étant les racines supposées distinctes de l'équation en S et F, $, 

 0, trois fonctions que je suppose holomorphes. En se bornant aux courbes 

 analytiques, c'est-à-dire telles que deux des coordonnées x,y, z soient des 

 fonctions holomorphes de la troisième, on obtient le résultat suivant : 



SiS^, So, S3 sont différents de o et de i et si aucune des racines S,, Sa, S3 

 n'est une puissance entière d'une autre racine, il existe trois courbes analytiques 

 invariantes, et trois seulement, passant par le point double. 



En cherchant de même une surface analytique invariante, on démontre 

 la proposition suivante : 



Si S, , So, S 3 sont différents de o et de i et si aucune des racines ri est égale 



