3o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



au produit de deux puissances entières des deux autres racines, il existe 

 trois surfaces analytiques invariantes passant par le point double, quand i n'est 

 pas compris entre le plus grand et le plus petit des nombres | S, |, | S, |, | S3 1, ef 

 une surface invariante dans le cas contraire. 



Dans le premier cas, les trois surfaces obtenues sont les seules surfaces 

 analytiques invariantes passant par le point double; je ne puis rien affirmer 

 dans le second cas. 



Les résultats précédents généralisent une proposition établie par M. Poin- 

 caré pour une substitution à deux variables (' ). 



L'analogie de ces résultats avec ceux relatifs aux courbes définies par 

 des équations différentielles, dans le domaine d'un point singulier, peut 

 s'expliquer en considérant la substitution 



(2) X = x + {S,,x + ...)h, Y=j + (S,j+...)S^ Z^z + {?>,z+...)h. 



Les équations foncliotinelles définissant les courbes ou les surfaces inva- 

 riantes par (2) deviennent, lorsque 8/ tend vers zéro, des équations diffé- 

 rentielles. Dans cet ordre d'idées, j'énoncerai encore le résultat suivant : 



Si |S,|, [Soi, I Sj I sont tous trois plus grands (ou plus petits) que i, 

 toute courbe, analytique ou non, invariante par (i) est définie par des équa- 

 tions de la forme 



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où F,, F„, F3 sont trois fonctions de x, y, z holomorphes et nulles à l'ori- 

 gine et iùai^x^ une fonction périodique arbitraire de période a. Lorsque la 

 substitution (i) devient (2), on retrouve, en faisant tendre S^ vers zéro, un 

 résultat bien connu de l'étude des équations différentielles. 



2. Soit maintenant à trouver une courbe invariante par une transfor- 

 mation de contact : 



(3) \^f{x,y,y) Y-cp(^,j,y'), ¥'=0(0^,7,/) 



et passant par un élément double de cette transformation. Ce problème se 

 ramène à l'un des précédents. Si l'on remplace dans la transformation (3) 

 y par z, elle devient une substitution à trois variables 



(4) X=/(a;,j, 2), Y = t!^{x,y,z), Z = ^{x,y,z). 



(') I'oiNCAli£, Sur lus courbes défiiiias par des équalioiis dijjérentielles {Journal 

 de Liûuville, i886, p. 198). 



