SÉANCE DU 2 JANVIER igoS. 3l 



Soit Y = '\i(x) l'équation d'une courbe invariante par (3): on en déduit 

 une courbe y = H^)' ^ = <|''(^) invariante par (4). Réciproquement, si 

 l'onaobtenii une courbe analytique y = i^(x), s = ^(a;) invariante par (4), 

 la courbe V = A(a7) est-elle invariante par (3), autrement dit la fonc- 

 tion x('^) est-elle la dérivée de à(3c)'l II est facile de voir que cette condi- 

 tion n'est satisfaite que par deux des trois courbes invariantes et non pas 

 par la troisième. La transformation (4) peut en effet se ramener à la forme 



X=/(cc,y,z) = ax + by + cz.-h..., Y = 'i?(x,y, z) — By +..., 

 7j = xx -h Py-+-yz + 



Pour deux des trois courbes invariantes, on a y'^ = o. Or, la transforma- 

 lion (4) provenant d'une transformation de contact, on a, pour tout point 

 (x, y. z) d'une courbe invariante, les égalités 



d<o do do , àf âf , d'f 



dx dy" dz" -., dx dy à: 



dx àv ôz dx dv dz 



De ces égalités et de celles qui s'en déduisent par dérivation on tire (en 

 remplaçant x, y, z et y'^ par zéro) : j, = s„ y\ = =;,..., j'/" = z'/""" et la 

 fonclion z est bien la dérivée de y. F'our la troisième courbe invariante, au 

 contraire, yj n'est pas nul et cette |)r()priété n'est plus vérifiée. Ainsi : 



Par un élément double d'une transformation de contact passent en général 

 deux courbes invariantes par la transformation. 



Les fonctions y = i{'(^) ainsi déterminées vérifient les deux équations 

 fonctionnelles : 



(5) ^[/(x,^,^')]^o(x,^,n 



(6) .y[/(cr,f f)J = 6(^,A,f). 



Si une fonction vérifie l'équation (5), on en conclut, en dérivant cette 

 équation, qu'elle vérifie aussi, soit l'équation (6), soit l'équation 



dx dy^ dy'-^ 



Dans une Note présentée à l'Académie (3o novembre 1903), j'ai signalé 

 des solutions de l'équation (5) et j'observais que les courbes obtenues 

 n'étaient pas à proprement parler des courbes invariantes : elles vérifient 

 l'équation (5), mais non l'équation (G). 



