'il ACADÉMIE DES SCIENCES. 



La recherche des courbes invariantes par polaires réciproques par rap- 

 port à la conique aj' — j;^=o conduit à deux équations de la forme (5) 

 et (6). La solution générale de ces équations est la suivante : 



a- = F(/) + (DC/). y = ^ 4- f'\V(t) - <D(/)] [F'(/) + <ï.'(0] ^t. 



¥(t) étant une fonction paire arbitraire et *!'(/) une fonction impaire arbi- 

 traire du paramètre /. 



THÉORIE DES GROUPES. — Sur les soiis-groupes invariants d'indice p-. 

 Note de M. G. -A. Millkk, présentée par M. Jordan. 



Soit G un groupe quelconque contenant un sous-groupe invariant (H) 



d'indice />-, p étant un nombre premier quelconque. Puisque le groupe -g 



est abélien, H comprend le sous-groupe commutateur (') de G. Il com- 

 prend également la puissance p- de chaque opération de G. Donc le plus 

 grand sous-groupe (H') de G, lequel est commun à tous ses sous-groupes 



invariants d'indice/?-, contient tous les commutateurs de G aussi bien que 



p 

 la puissance p- de chaque opération. De ceci il résulte que -jr, est un groupe 



abélien ne renfermant aucune opération dont l'ordre excède />^. 



Chaque sous-groupe invariant d'indice p- contenu dans G correspond 



P 

 k un sous-groupe d'indice /?- contenu dans -rr,, et vice versa. Le nombre de 



ces derniers est égal au nombre de sous-groupes d'ordre p- dans jn (^)- 



Nous déterminons d'abord la forme de ce nombre, 

 p 

 Soit p" l'ordre de-rp- Lorsque n est pair, le nombre des invariants de ce 



groupe est - -+- a(o^(x=-)- Si n est impair le nombre de ses invariants 



est 1- a. Dans le premier cas, le nombre de sous-groupes invariants 



d'indice p- contenus dans G est 



(/^'— i)(y^ — i) p — i 



(') Quarlcrly .loiiriial of Malheinalics, t. XXVIII, 1896, p. 266. 

 (*) Wkbeb, Lehrbuch der Algebra, t. II, 1899, p. 56. 



