ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI 16 JANVIER 1903, 



PRÉSIDENCE DE M. TROOST. 



MEMOIRES ET COMMUIVICATIOIXS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



GÉOMÉTRIE. — Sur la généralisation d'un théorème élémentaire 

 de Géométrie. Noie de M. H. Poixcaré. 



La somme des angles d'un triangle est égale à deux droits; mais nous 

 n'avons aucun théorème analogue pour le tétraèdre. 



La surface d'un triangle sphérique est proportionnelle à l'excès sphé- 

 rique; mais nous n'avons aucun théorème analogue pour le tétraèdre 

 hypersphérique tracé sur l'hypersphère de l'espace à quatre dimensions. 



On peut donc se demander si les théorèmes en question sont suscep- 

 tibles d'être étendus aux espaces à plus de trois dimensions. Ainsi qne nous 

 allons le voir, le premier de ces théorèmes peut être généralisé dans tout 

 espace d'un nombre pair de dimensions, mais non dans les espaces d'un 

 nombre impair de dimensions. Le second théorème peut être étendu aux 

 hypersphères des espaces à un nombre impair de dimensions, mais non 

 aux hypersphères des espaces à un nombre pair de dimensions. 



Plaçons-nous dans l'espace à n dimensions, et soient ^,, \.,, . . ., ^„ les 

 coordonnées d'un point dans cet espace et 



(t) E; + E^ + ...-+-E;=. 



l'équation d'une hypersphère. Soient 



(2) X, = o, X, = o, ..., X„=o 



les équations de rt plans passant par l'origine. Alors X,, X^ X„ sont 



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