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des polynômes linéaires et homogènes en l,, %.,, . . ., E„. Nous pouvons 

 toujours supposer que l'on a identiquement 



(3) X. + X, + ...-f-X„=^,, 



En effet, quels que soient ces polynômes, on pourra trouver n con- 

 stantes \,, 1.,, . . . , 1„ telles que ^A/X, = E„ ; mais comme nous pouvons 



aussi bien écrire les équations des plans >,X, ;= o, au lieu de X, = o, nous 

 ne restreignons pas la généralité en supposant que ces constantes sont 

 égales à i . 



Ces /« plans (2) divisent la surface de l'hypersphère (i^ en 2" régions, 

 qui se distinguent entre elles par les signes des polynômes X. I/une de ces 

 régions sera le tétraèdre hypersphérique que nous voulons étudier et que 

 j'appelle T; ce sera par exemple celle pour laquelle tous les polynômes X 

 sont positifs. 



Mais ce n'est pas tout à fait comme cela que nous opérerons; nous 

 commencerons par diviser l'hypersphère en deux hémisphères par le plan 

 ^„= o, et nous envisagerons seulement l'hémisphère E„ ^ o ; la suriare de 

 cet hémisphère sera partagée en 2"— i régions seulement; car, en vertu 

 de l'équation (3), tous les X ne peuvent être négatifs si leur somme L„ est 

 positive. 



Pour distinguer ces régions les unes des autres, nous désignerons cha- 

 cune d'elles par les indices de ceux des polynômes X qui sont positifs à 

 l'intérieur de cette région. Ainsi la région où lespolvnomes Xj, X,,, X^ sont 

 positifs et tous les autres négatifs sera la région 245. Nous appellerons 

 régions R^ celles où p de nos polynômes seront positifs et qui seront dé- 

 signées par conséquent par p indices. Le nombre total des régions R^, est 

 évidemment 



«! 



j.) ! /( — pi 



Il n'y a qu'une seule région R„ qui est le tétraèdre T, il n'y a pas de 

 région R„. La surface des diverses régions sera évaluée en prenant pour 

 unité la surface de rhémis|ihère. 



Cela posé, il nous faut définir les angles du tétraèdre; et distinguer 

 parmi eux les angles dièdres ou angles A2, les angles triédresou angles A3, 

 et plus généralement les angles A^ limités par p plans. 



Un angle A^ sera donc l'ensemble des régions où les p polynômes X 



