Il8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Inclue Pg el le genre numérique/),, de la surface; c'est ce que je vais exposer 

 succinctement. 



2. Ayant, comme habituellement, la surface algébrique de degré m, et 

 dont une section plane arbitraire est de genre p 



f(x, Y, :■) = o, 



et 2p intégrales de seconde espèce I/, de la courbe algébrique entre x ei z 

 représentée par l'équation précédente, dont les périodes, fonctions de j', 

 sont 



/, Il u 



nous formons les équations qui jouent le rôle essentiel dans ma théorie 



(i> 



La surface, comme on sait, aura des intégrales de différentielles totales 

 de seconde espèce, si l'on peut déterminer les constantes P de façon que 

 les équations (i) donnent pour a des fonctions rationnelles de y. Or on 

 peut supposer que les périodes (pour h quelconque) correspondant aux 

 indices i et 2, 3 et 4, • • . 2/) — i et ip sont relatives aux p rélroseclions 

 du type (C, D) de Riemann. On voit alors très facilement que la condition 

 nécessaire et suffisante pour que les constantes P correspondent à des inté- 

 grales de seconde espèce de la surface est que la combinaison 



(2) P.<o^-P,c.': + ...+ lV_.o.^;--!',X. , (A-I,2, ...,2/>) 



se réduise à un polynôme en y. S'd reste parmi les P un nombre r d'arbi- 

 traires, une équation différentielle linéaire E aura alors comme solutions 

 r polynômes distincts. C'est le théorème que nous avions établi {loc. cit.) 

 par une voie différente, au moins quant au mode d'exposition. 



3. Allons plus loin, en supposant d'abord que la surface soit régulière, 

 c'est-à-dire que p^ = p,^. Dans ce cas, l'ensemble des adjointes d'ordre 

 m — 3 de la surface découpe sur uu plan quelconque l'ensemble des 

 adjointes d'ordre m — 3 de cette section plane. Parmi les I/i, nous pouvons 

 supposer que se trouvent, pour A == i, 2, . . . . /?, les /> intégrales de pre- 



