SÉANCE DU l6 JANVIER igo5. II9 



mière espèce relatives à la courbe entre ce et z, qui seront de la forme 



/- 



- (/i= T, 2, .. .. p). 



Q^ = représentant une surface adjointe d'ordre m — 3 de la surface /. 

 Remarquons que la période 



w* (X- = [, 2, . .., 2/7; /«=/>), 



qui est uniforme autour dey = -xi, s'annule pour cette valeur. Il en résulte 

 que les expressions (2), pour hSp, sont identiquement nulles. 



Une analyse, ne présentant aucune difficulté, nous permet alors de con- 

 clure que les solutions a du système (i) sont les suivantes. On a 



et les autres a, à savoir a,, a.^, . . ., a^,, sont des polynômes du premier degré 

 en y. De là on conclut que, pour une surface régulière, toutes\es intégrales 

 (le différentielles totales de seconde espèce (transcendantes) sont en même 

 temps des intégrales àe première espèce. 



Mais ceci n'est pas possible. Ou sait en effet que, si une surface a r inté- 

 grales distinctes de seconde espèce, on peut former r intégrales de seconde 

 espèce ayant chacune leurs r périodes arbitrairement choisies. Par suile, 

 on pourrait avoir r intégrales de première espèce dont chacune aurait ses r 

 périodes arbitraires, ce qui est manifestement impossible. On a donc r = o\ 

 ce qui nous conduit au théorème suivant : 



5/ une surface est régulière (pg^= p,i)> ^^^^ n'a pas d'intégrale de différen- 

 tielle totcde de seconde espèce (^transcendante). 



Ce théorème revient à une proposition démontrée récemment par M. Se- 

 veri, en se plaçant à un tout autre point de vue. Le théorème de M. Seveii 

 est le suivant (^ ' ) : Sî une surface a des intégrales de différentielles totales de 

 seconde espèce , on a nécessairement p^"^ p,,. I^es propositions sont identiques. 



4. Supposons maintenant que la surface soit irrégulière (Pg^Pnh-- 

 Quoique la conclusion à laquelle j'arriverai soit générale, je vais, pour 

 abréger la démonstration, supposer que les surfaces adjointes d'ordre /n — ^3 

 présentent seules, quant aux sections planes, un défaut de régularité, les 

 adjointes d'ordre supérieur n'en présentant pas. Dans ces conditions, les 



(') Skvkbi, Atli (lella Accademia dei Liiicei, septeiiiijre 1904. 



