SÉANCE DU l6 JANVIER igoS. 121 



en y, il faut en outre que celte combinaison se réduise à zéro pour 



h = i,i, ..., p. 



Il en est nécessairement ainsi pour 



A = I, 2, ..., p — O), 



puisque les développements des oi'' commencent par un terme en — Mais, 



pour h=^p — 0), . ■ -, p, les combinaisons (2) se réduiront seulement à des 

 constantes, si l'on n'assujettit pas les P à de nouvelles conditions. En 

 écrivant que ces constantes sont nulles, on a donc entre les P des nouvelles 

 relations en nombre 10, et l'on démontre qu'elles ne rentrent pas dans les 

 précédentes. 



Le nombre des P restant arbitraires est donc égal à r — w. Inversement, 

 on établit que, les P étant ainsi choisis, les solutions des équations (i) 

 sont 



a^+, =. .. = «.^,= o, 



les O/, étant linéaires en y, quand h est de la suite (a), et se réduisant à 

 des constantes, quand h est de la suite (p). On en conclut alors que l'on 

 obtient ainsi une intégrale de première espèce de la surface. D'où enfin le 

 théorème suivant : 



Si, pour une sur/ace algébrique, /•„ désigne le nombre des intégrales de pre- 

 mière espèce et r le nombre des intégrales de seconde espèce, on a la relation 



(3) '■„ = r - (p., - p„). 



5. Il est encore possible d'obtenir assez aisément l'inégalité suivante 

 entre r et r,, : 



en se servant de quelques propositions classiques dans la théorie des inté- 

 grales abéliennes. 



Rapprochée de la relation (3), cette inégalité nous donne 



ri2{p^-p„). 

 Cette inégalité est intéressante. Peut-on aller plus loin et aurait-on 



''='^{PS-Pn)^ 



C. R., igoô, I" Semestre. (T. CXL, N" 3.) 



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