SÉANCE DU 16 JANVIER igOD. 1 33 



CORRESPONDANCE. 



GÉOMÉTRIE. — Sur /es surfaces a/gébric/ues irrégulières. 

 Note de M. Federigo Emuqites, présentée par M. Emile Picard. 



D'après Clebsch et M. Nœlher, étant donnée une surface algébrique 



d'ordre m, on peut former généralement des intégrales doubles de pre- 

 mière espèce 



qui restent toujours finies sur la surface; il faut, pour cela, que les Q 

 soient des polynômes, de l'ordre m — 4. adjoints à f, c'est-à-dire (pour se 

 borner au cas ordinaire) qu'ils s'annulent sur lu courbe double dey= o. 

 Ce nombre îles poljnomfs Q linéairement indépendants est ce que l'on 

 appelle \e genre géométrique pg de/". 



Or, en désignant par N un entier suffisamment grand, on peut évaluer 

 le nombre des polynômes d'ordre N adjoints à /, d'après une formule 

 donnée dans toute sa généralité par M. Nœther. 



Faisons dans cette formule 



N = m — 4; 



dans le cas que l'on envisage comme étant le plus général, on obtient ainsi 

 le nombre ^^. Mais il peut arriver que la valeur />a ainsi obtenue diffère 

 àe pg-, précisément que l'on ait 



C'est Cayley qui, -ayant aperçu le premier la curieuse circonstance qui 

 précède, a appelé i'.ittention sur ce que le nombre z^^, quand il n'est pas 

 égal à Pg, fournit un nouvel invariant des surfaces. M. Zeuthen établit 

 ensuite luie démonstration de l'invariance de /?„, sous quelques restrictions, 

 dont on s'est affranchi par des recherches plus récentes. 



On appelle p^ le genre numérique ou arithmétique de/", et l'on dit qu'une 

 surface c-t régulière si 



Pu = Pg, 



