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qu'elle est irrègulière dans le cas contraire 



Pa<Pg- 



On connaît plusieurs exemples de surfaces irrégulières; aux surfaces 

 réglées (remarquées par Cavlev)on a ajouté les surfaces possédant un fais- 

 ceau irrationnel de courbes quelconques, les surfaces hyperelliptiques, etc. 



J'ai remarqué, il v a cinq ans, que tous ces exem|)les rentrent dans une 

 même famille de surfaces que l'on peut définir par la propriété suivante : 

 il existe sur la surface une série continue de courbes algébriques qui n'est 

 pas renfermée dans un système linéaire de courbes du même ordre. Lors- 

 qu'une surface renferme une telle série de courbes, elle est irrégulière. 



Tout récemment je suis parvenu à établir la proposition réciproque que 

 j'ai communiquée le 1 1 décembre 1904 à l'Académie de Bologne. On a donc 

 le théorème : 



Sur une surface régulière toutes les courbes algébriques d'un ordre donné se 

 partagent en un nombre fini {^o) de systèmes linéaires. Au contraire, sur une 

 surface irrégulière, elles donnent Heu à des séries algébriques non linéaires, 

 ou à une infinité continue de systèmes linéaires de courbes du même ordre. 



D'une manière plus précise, si l'on envisage sur la surface un de ces sys- 

 tèmes complets qu'on appelle réguliers, et dont la dimension effective r est 

 égale à la dimension virtuelle, on trouve qu'il est contenu dans un système 

 non linéaire de dimension r -+- p^ — p„. 



Le théorème que je viens d'énoncer ramène la construction des surfaces 

 irrégulièresà celle des séries algébriques non linéaires de groupes de points 

 sur les courbes. Cette construction d'une surface renfermant une série non 

 linéaire de courbes a été remarquée \^arM.}:iumheri (Comptes rendus, iSgS), 

 qui a, le premier, appelé l'attention sur la question des systèmes non 

 linéaires de courbes pouvant appartenir aux surfaces algébriques. M. Hum- 

 bert a montré comment on |:)eut obtenir, i)ar la construction qui [précède, 

 des intégrales de Picard de première espèce, c'est-à-dire des intégrales de 

 différentielles totales 



'^P rfic + Q dy. 



P 



qui restent toujours finies sur la surface. 



On voit maintenant que : sur une surface irrégulière il y a toujours des 

 intégrales de Picard de la première espèce. 



Or rappelons un récent résultat, obtenu par M. Severi, d'après lequel, si 



