SÉANCE DU l6 JANVIER igoS. l35 



une surface algébrique admet des intégrales de Picard de la seconde espèce, 

 elle est irrégulière. Le théorème de Severi s'applique a fortiori au cas où il 

 y a des intégrales de première espèce. 



Par conséquent : 



La condition nécessaire et suffisante pour que la surface algébrique f 

 admette des intégrales de première espèce, peut être exprimée par 



Partant : si, sur f, il y a des intégrales de Picard de la seconde espèce, il y 

 en a aussi de la première, et les courbes algébriques tracées sur f donnent lieu 

 à une infinité de systèmes linéaires de courbes du même ordre, composant des 

 séries continues non linéaires. 



Peut-on aller plus loin? Peut-on Iroiiver une relation numérique entre la 

 différence/?^ — /j^ ^^ le nombre des intégrales de j)remière espèce attachées 

 à la surface? 



M. Severi croit pouvoir y parvenir en démontrant par le procédé direct 

 la réciproque de son théorème cité ci-dessus. Il m'a même communiqué le 

 résultat suivant : pg — p^ est égal à la différence entre le nombre des inté- 

 grales de Picard de seconde et de première espèce attachées à la surface. 



M. Castelnuovo pense que la relation entre Pg — pa et le nombre des 

 intégrales de première espèce pourra être établie tn poursuivant l'étude 

 des systèmes non linéaires de courbes tracées sur la surface. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points de la théorie des nombres. 

 Note de M. Georges Rémouxdos, présentée par M. Emile Picard. 



1. En utilisant une méthode célèbre d'Hermite, M. Lindemann a dé- 

 montré la transcendance (') du nombre 77; il a, à cette occasion, établi un 

 théorème d'une grande importance, à savoir : 



Si les nombres a,, a^, . . ., ot„, A,, \.,, .... A„ sont algébriques, l'égalité 



(i) A,e°'.-hA„e^-h...-1- A„e°'"=o 



entraîne la nullité de tous les coefficients A,, A^, . . ., A,,. 



Le théorème présente une analogie visible avec celui de M. Borel, qui 



(') Mathemalische Annalen, Volume XX, 1882, p. 2i3. 



