l38 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



d'indiquer ici une niitre méthode pour démontrer la même proposition 

 pour a ^ Q. Nous nous poserons le problème suivant : 



Problème fondamental : (a^o). — Déterminer une solution de (i) 

 à l'intérieur d'un rectangle R dont les côtés sont parallèles aux axes, lorsqu'on 

 donne les valeurs qu'elle prend sur le côté inférieur ainsi que sur les deux côtés 

 parallèles à l'axe des y du rectangle R. 



Ce problème admet toujours une solution et une seule. La deuxième partie de celte 

 assertion se démontre par la considération d'une certaine intégrale double; pour en 

 établir la première partie et calculer eflectivement la solution, on emploie la méthode 

 des approximations successives, l'équation élémentaire étant de la forme 



Lorsque les dimensions verticales de R sont quelconques on n'a qu'à répéter un 

 nombre limité de fois le même calcul. Au contraire, si ce sont les dimensions horizon- 

 tales qui sont trop grandes, on peut emplo^'er avec succès le procédé alterné. 



Si l'on dirige la méthode des approximations successives dans le but de 

 montrer que la solution trouvée est analytique (par rapport à x), on est 

 amené à discuter les intégrales suivantes 



k,{x) 



2 \//r(e- '■>''•■ — e--"^'*) 



c étant un nombre réel, tandis que k el n sont des nombres entiers com- 

 plexes dont la partie réelle n'est pas négalive. On peut trouver dans ces con- 

 ditions une h mite supérieure du module de A;,, (a;) et de sa dérivée à l'intérieur 

 d'un losange, si l'on connaît la limite supérieure de <'a(^) dans ce même 

 losange ('). Pareillement on a une limite supérieure de B„(j') et de sa 

 dérivée, lorsque la partie réelle de j' n'est pas négative. Finalement la solu- 



(') Dans ma Thèse, pour étudier des intégrales analogues, j'ai introduit des déve- 

 loppements spéciaux. Mais l'on pouirait simplifier notablement les calculs en considé- 

 rant les régions où ils convergent, sans les introduire explicitement. 



