SÉANCE DU 2,3 JANVIER IQOJ. 209 



flérivern q^^ /^., /,.. /.; une seconde partie dans laquelle on dérivera u[^., 

 Uy, II'.. 



De même pour c'y, rj. Dans la somme ^/,a''j.. la premièrf partie dispa- 

 raît. Il resto donc simplement 



y- Il ,.. ()' ii\ „ / ,., i)- Il ^ (Pu 



en désignant par N et D le numérateur et le dénominateur de la fonction 

 {'(cc,y, z^ On vérifie que cette somme est identique au déterminant au 

 facteur — /'^ près. Donc : 



Théorème. — La condition pour que la famille de surfaces J\x, y, z^ = p 

 admette des trajectoires orthogonales planes peut se mettre sous la forme 



en posant 



<r, r, z) = ; \^fy+(f-f+^f^f\, ç(.r, y, z) = ^ff^ , 



on en déduit les conséquences suivantes : 



Considérons la nouvelle famille de surfaces v(_x, y, z) = a. 



La relation indique qu'en un point quelconque commun aux deux sur- 

 faces p, c les deux surfaces se coupent orthogonalement. 



Partons d'un point M(.z'o, Vo. z^). En ce point passent une surface p, une 

 surface a. L'élément de courbe trajectoire passant en ce point, normal à la 

 surface p, est donc tangent à la surface a. La même surface 1 passe donc 

 aussi par le point M' infiniment voisin sur la courbe trajectoire. L'élément 

 de courbe trajectoire passant par M' sera donc encore tangent à la même 

 surface a. En d'autres termes : 



La même surface a contient la trajectoire orthogonale tout entière. 



Quelle est l'équation du plan de la coru'be? 



Soit 



/n \ -f- / A' + /? Z -+- y ^ o - 



l'équation de ce plan. On a trouvé les conditions 



ni.r„ -f- /M-„ + /;=„ + r/ = o, 



mu', ■+- nul -^ pu'. ^= o. 



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