210 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



L'équation de ce plan est donc 



p- /; /;„ /;„ 



"'.„ ".'„ ".-„ 



Ainsi, si l'on a une famille de surfaces /(.-r, y, z) = f, on peat avoir, 

 sans intégration, les équations des courbes trajectoires. 



Les équations de la courbe trajectoire qui passe par un |)oint a:„, y„,ï„ sont 



X 



3C„ 



/:. 



Y-.r„ Z- 

 //' li. 



/; 



o, 



'lu. 



ùy 



./■; 



dx 



,., àii 



du . du 



_ OYo ■ O^o 



Ou ^ , du du 



Comme première conséquence immédiate on voit en parliculier que, si 

 la surface est algébrique, les équations des courbes trajectoires le seront 



aussi. 



Chacune des courbes trajectoires rencontre une courbe fixe dont les 

 équations sont 





Uy U- 



7; "/!' 



Il n'a pas échappé que la fonction c(j7, j, =) n'est pas symétriquement 

 formée au moyen des dérivées de /. La dissymétrie disparaît dans la somme 



/"(/ -f-/V' +/V après suppression du facteur de dissvmélrie —7^ — , ■■• ^^, , - ^ - 



Ce résultat est extrêmement heureux. 



Il nous permet d'avoir trois formes différentes pour la famille de sur- 

 faces c(.r,j, z) = '7 qui renferment les trajectoires orthogonales. On les 

 obtient par permutation des lettres x, y, z. 



Soient 



('(.T, J, s) = c, w{x,Y, z) = D, t(.x,y,z) = -,. 



Les équations des courbes trajectoires peuvent se mettre sous l'une des 

 formes 



P = o. 



p 



o, 



(v = (r„, 



P=o, 



on en déduit cette conséquence extrêmement remarquable : 



Les trois surfaces c = ('„, tr = « „, / = /„ se coupent suivant une même 



