SÉANCE DU 23 JANVIER igoS. 211 



courbe />/a/ie qui est la trajectoire orthogonale passant par le point au.jo.^^. 

 L'équation du plan a été donnée ci -dessus. 



On obtiendra des familles de surfaces à trajectoires orthogonales planes 



en prenant 



i>^ const.; 



on obtient ainsi une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre 

 dont toutes les solutions appartiennent à l'équation aux dérivées partielles 

 du troisième ordre qui régit le problème. 



Note sur la Communication précédente, 

 par M. Gastox Darbous. 



On peut développer et compléter comme il suit les résultats obtenus par 

 M. Carrus. Soit 



(i) /(a-, y, s) = const. 



l'équation en coordonnées rectangulaires d'une famille de surfaces. Les tra- 

 jectoires orthogonales seront définies par les équations différentielles 



auxquelles on peut, en introduisant une variable auxiliaire t, donner la 

 forme suivante : 



^^^ ~di~'-'=' lïi'^Jy' li^J--' 



Si l'on pose 



(3) /;^+/;^+y-=3« 



et si l'on introduit le symbole bien connu défini par l'équation 



(4) i^p = ,:j^^+^^^-v^j^, = \^, _ 



les équations (2), différentiées successivement deux fois par rapport à /, 

 nous donneront les suivantes : 



/ ^\ d'-j: , d- Y , d- : , 



(^) 77F = "" -dF="y^ dF = "=' 



/,', d^j; ^ . d'Y ^ ■ d' z x 



