M, 2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



La condiLioii [jour qu'une courbe soit plane s'obtient en égalant à zéro 



le déterminant 



d.v r/Kr dKi- 

 'dt UF lUF 



(7^ 



£> = 



dy d'y d^y 



7/7 UF- ~dF 



dz d-z d'z 



Tt lit} Iw 



on voit donc que la condition pour que la famille de surfaces admette des 

 trajectoires planes se présentera sous la forme 



(8) 



£i = 



/: 





il. 



= o. 



obtenue en remplaçant dans l'équation (7) les dérivées de x, y, z relalives 

 à t par leurs valeurs déduites des formules (2), (5)'et (6). On se trouve 

 ainsi conduit à l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui 

 caractérise les surfaces cherchées et qui a servi de point de départ à 

 M. Carrus. 



Ce jeune géomètre en a fait connaître des transformations intéressantes. 

 Nous allons les retrouver, en donner de nouvelles, et surtout montrer que 

 l'équation du troisième ordre peut être intégrée une fois au moins, et 

 ramenée à une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre seule- 

 ment. 



A cet effet, considérons une famille quelconque de surfaces définie par 

 l'équation (i) et proposons-nous de déterminer, pour un point quelconque 

 de l'espace, de coordonnées x,y, z, le plan osculateurde celle des trajec- 

 toires orthogonales des surfaces qui passe en ce point. Si 



/X + mY + «Z = I 



est l'équation de ce plan osculateur, on aura les conditions 



(9) 



Ix 



d^ 



in 



d^x 



IF 



my 



ni 



m 



,ly_ 

 dL 

 c£_y 

 df- 



-+- nz — i, 

 dz 



■^''dl ="' 



d-'z 

 di- 



O, 



