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Voici comment on peut intégrer une fois réqualion (8) : 

 Puisque les trajectoires orthogonales sont planes, les plans de ces 

 courbes forment évidemment un système simplement ou doublement infini. 

 Considérons d'abord le cas où les plans forment une suite simjjlement 

 infinie et, par conséquent, enveloppant une surface développable. Il y a 

 alors une infinité de trajectoires dans chaque plan tangent de la dévelop- 

 pable et les surfaces cherchées sont des surfaces moulures dont les profils 

 se trouvent dans les plans tangents de la développable. Écartons celle 

 solution, qui était évidente a priori, et supposons que les plans des trajec- 

 toires enveloppent une surface non développable. Alors les quantités que 

 nous avons appelées /, m, n devront satisfaire à une relation 



(iG) S{Lm,n) =^o, 



qui sera du second ordre par rapport aux dérivées de/(a;, j, z) quand on 

 y remplacera /, m, n par leurs secondes expressions (lo) en fonction 

 de X, y, z. C'est l'intégrale première générale de l'équation du troisième 

 ordre ( 8 ) . 



Les équations (i5) permettent d'ailleurs de vérifier ce résultat avec la 

 dernière précision et conduisent à l'idenlité 



(•7) 



^fj(l, m. II) 



D- 



Il serait facile d'étudier les solutions de l'équation (i6) qui annulent le 

 déterminant du second membre; nous donnerons à la fin les résultats de 

 cette étude. 



Si l'on veut que la surface enveloppée par les plans tangents des trajec- 

 toires se réduise à un point, que l'on prendra pour origine des coordonnées, 

 l'équation (i6) se réduira à la forme simple 



(,8) 



D 



= G. 



Ici on pourra évidemment intégrer une fois encore et remplacer l'équa- 

 tion précédente par la suivante 



(19) 



2« =f^ -^J7 +/'" -= ?(y; x' +j' + ^'), 



