SÉANCE DU 23 JANVIER ipoS. 2l5 



qui se ra|)proche beaucoup, par la forme, de celles que Jacobi a introduites 

 dans la Mécanique analytique (' ). 



Si l'on voulait que les plans des trajectoires fussent parallèles à une 

 droite fixe, on serait de même conduit, en prenant celte droite pour axe 

 des X, à l'équation du premier ordre 



(20) /"+.A"+.r = ?LA-^-)- 



On sait intégrer les équations (19) et (20), lorsque /ne figure pas dans 

 leur second membre. On trouvera des applications particulières au Tome II 

 de mes Leçons sur la théorie des surfaces (Livre V, Chap. VI et VII). 



Revenant au cas général, nous ajouterons la remarque suivante qui nous 

 fournira l'intégration d'une nouvelle équation aux dérivées partielles : 



Puisque l'équ.'lion aux dérivées partielles du troisième ordre (8) admet 

 l'intégrale première (16), il semble qu'elle pourra être écrite aussi sous la 

 forme 



(2.) 



f) = 



= 0, 



/, m, n étant les fonctions de x, y, z définies par les équations (10). Et, en 

 effet, si l'on multiplie deux fois le déterminante par le déterminant D en 

 tenant compte des relations (9), on trouve l'identité 



(22) 



0D'= — o 



./;; f\ L 



^fll',. ?ifU\. ^j'U'. 



dont le second membre contient, comme il fallait s'y attendre, £2 en fac- 

 teur. Mais on voit aussi que, en égalant à zéro le second facteur 



(23) 



o — 



/. /: j: 



"r ")■ "z 



<îfll\. <^fU'y ^fU. 



l'équation (21) sera encore vérifiée, c'est-à-dire qu'il existera une relation 

 entre /, m, n sans que les trajectoires orthogonales soient nécessairement 



(') Voir un résultat plus général à la page 79 de mes Leçons sur les systèmes 

 orlhos;onati.r. 



