SÉANCE DU 23 JANVIER rgoS. 217 



prouvé que beaucoup d'équations ne pouvaient avoir que des solutions 

 analytiques. 



Soit maintenant, pour fixer les idées, une équation à deux variables ^ et ic 

 dont on sait qu'une solution /(.r, t) est analytique, au moins par rapport 

 à X, pour ^ > o et qui se réduit pour ^ = o à une fonction de x continue 

 mais pas forcément analytique. Pour t non nul mais aussi petit qu'on vou- 

 dra f(x, t) restera analytique mais tendra aussi avec telle approximation 

 qu'on voudra vers la fonction non analytique qui la remplace pour < = o. 



Voici d'abord comme,nt on peut déduire de là la méthode de dévelop- 

 pement de Weierstrass (^Journal de Liouville, 1886, p. io5; E. Borel, loc. 

 cil., p. 5i). 



Soit l'équation de la propagation de la chaleur par conductibilité 



et la solution de Cauchy-Fourier, facile à obtenir, 



qui, pour ^ = o, se réduit à la fonction non forcément analytique f{x). 

 Intégrant par rapport à a on a 



71 V-'-» 



v4v 



ce qui, en posant t\y=^k-, est l'intégrale <]/ (a;, k){^. Borel, loc. cit., p. 52) 

 donnant un développement analytique qui, pour k aussi petit qu'on veut, 

 représente y( a;) avec l'approximation qu'on veut. 



La méthode de M. Picard (rraj^e d'Analyse, t. I, 2* édit., p. 275) revient 

 à remplacer ( i ) par l'équation de Laplace à deux variables dont on prend 

 la solution 



^2n 2 



2TtJ^ J\^^ 1 _ 2/-C0S(lI/ — «p) -h r^ '' 



se réduisant à/((p) sur le cercle r = i. Comme cette solution est forcément 

 analytique en /■ et o {loc. cit., t. Il, Chap. I), le raisonnement précédent 

 s'applique encore. 



On pourrait varier indéfiniment les exemples et, le problème de la 



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