SÉANCE DU 23 JANVIER IQoS. 219 



Toute surface du quatrième degré à quatorze points doubles, parmi les- 

 quels deux groupes de trois sont en ligne droite, est une surface hyper- 

 elliptique dont la représentation est de la forme indiquée. 



D'après des résultats obtenus par Rummer ( ' ), parmi les quatorze points 

 doubles de la surface générale, six sont tels que le cône circonscrit (C) 

 ayant pour sommet l'un d'eux se décompose en deux cônes du second 

 degré et deux plans. J'ai démontré que ce sont ces six points qui seuls 

 peuvent se trouver sur deux droites et que, dans ce cas, la trace du cône C 

 sur un plan quelconque a pour équation 



[y(x — y) -+- 2xz][ly(x —y) ■+- ixz] 



(ax -h by -+- es ) (ax ->r- by -\- dz) =:V {xyz ) , 

 où l'on a 



a^= 4(A — C)(A- C>.), 6==BD + 4C='X, 



ft(c + r/)=2(B + D), cd=.\\ 

 A, B, C, D, \ étant des paramètres liés par les relations 



[A(B+D)— BC(i + >) — 4C-X]- — 4(A — C)(A — CA)(BD + /|C=l)==o, 

 J2A — C(i + X) — C[B-D4-2C(i+X)];-(BD + 4C«).) 



— (A — C)(A — CX)(B + D)^ = o. 



L'équation de la surface considérée peut donc aussi s'écrire 



Z= = /(X,Y), /(X.Y)EEE.p(f,f i). 



Le cône circonscrit ayant son sommet en l'un des huit autres points 

 doubles se décompose en général en un cône cubique à arête double et 

 trois plans. Les conditions auxquelles il satisfait dans le cas actuel sont 

 faciles à énoncer géométriquement; leur expression analytique est com- 

 pliquée. 



Enfin ces huit points se partagent en deux groupes de quatre situés cha- 

 cun dans un plan. Ces deux plans forment, avec les deux plans tangents le 

 long des deux droites contenant les autres points doubles, le tétraèdre de 

 référence auquel la surface est rapportée dans ma première Note. 



(*) Abhandlungen der Akademie der Wissenschaflen zii Berlin, 1866, p. 86. 



