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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les inlégrales de différentielles totales appar- 

 tenant à une surface irrégulière. Note de M. G. Castelndovo, présentée 

 par M. Emile Ficartl. 



Les deux méthodes qui ont contribué, séparément jusqu'ici, au déve- 

 loppement de la théorie des fonctions algébriques de deux variables indé- 

 pendantes, ont amené à considérer deux classes de surf;ices qui jouissent, 

 à un certain point de vue, de propriétés exceptionnelles. Ce sont, d'un côté, 

 les surfaces douées d'intégrales de différentielles totales de la première et 

 de la seconde espèce, que M. Picard a rencontrées dans ses recherches sur 

 les transcendantes attachées à une surface algébrique; de l'autre côté, les 

 surfaces irrégulières, dont le genre géométrique pg surpasse le genre arith- 

 métique pa, sur lesquelles Cayley et M. Nother ont appelé l'attention des 

 géomètres. Les exemples et les propriétés qu'on connaissait de telles sur- 

 faces conduisaient à penser que ces deux classes n'étaient pas distinctes; 

 mais on ne savait comment établir des liens entre deux définitions si pro- 

 fondément différentes. 



C'est à M. Severi que revient le mérite d'avoir, le premier, découvert ce 

 lien. Il a, en effet, démontré que toute surface possédant des intégrales de 

 différentielles totales de la seconde espèce est irrégulière (^Acc. dei Lincei, 

 sept. 1904). En outre, M. Picard et M. Severi viennent de démontrer, indé- 

 pendamment l'un de l'autre, que l'irrégularité /j^— pa est égale à la diffé- 

 rence entre les nombres des intégrales distinctes de la seconde et de la 

 première espèce ('). Cet important résultat peut être précisé davantage. 

 C'est ce qu'on verra par cette Note, où je profite d'un théorème remar- 

 quable que M. Enriques vient d'établir tout dernièrement (Note citée). 

 D'après ce théorème, sur toute surface irrégulière, on peut tracer une série 

 algébrique de courbes, qui n'est pas contenue dans un système linéaire. La 

 surface possède donc, en vertu d'une proposition de M. Humbert (^Journ. 

 de Math., 4* série, t. X), des intégrales de différentielles totales de la pre- 

 mière espèce. Je parviens à déterminer le nombre de ces intégrales, qui est 

 précisément p„ — p^. 



Envisageons une surface algébrique F ayant les genres/;^, p^, et l'irré- 



(') Voir une Note de M. Picard et une Note de M. Enriques parues dans le dernier 

 numéro des Comptes rendus. 



