SÉANCE DU 23 JANVIER ipoS, 221 



gularilé J = /)„ — /*„> o. D'après le théorème cité de M. Enriques, tout 

 système linéaire |C |, complet, régulier, de courbes tracé sur F appartient 

 à une série algébrique oo'' de systèmes linéaires | C |, | C, |, . . ., n'ayant deux 

 à deux aucune courbe commune. Si r est la dimension de ces systèmes, 

 par /-points arbitraires de F passera une courbe C, G,, ... de chacun desdits 

 systèmes; et ces courbes formeront une série algébrique ( non linéaire) co'', 

 que je désignerai par S^. Lps courbes de S^ dépendent algébriquement 

 de d paramètres, ou rationnellement de d -[- \ |iaramètres \„, 1,, . . ., 'X,/, 

 liés par une relation algébrique 



(pCX„,X,, ...,\i) = o. 



On peut donc dire qu'à tout points de la surface ou variété cp, à d dimen- 

 sions, correspond une courbe de S^, et vice-versa. Or la variété <p jouit 

 d'une propriété extrêmement remarquable : elle admet un groupe Ç,^ tran- 

 sitif cc'^ de transformations b {rationnelles en elle-même, deux à deux permu- 

 tables. Une de ces transformations est entièrement déterminée dès qu'on 

 connaît deux points de cp, c'est-à-dire deux courbes A, B du système S^, 

 qu'on veut faire correspondre; alors toute courbe C de S^ est transformée 

 en une nouvelle courbe C, de S,;, telle que l'on ait 



|C, | = |C + B- A|. 



On voit aussi que la variété cp est déterminée, à une transformation bira- 

 tionnelle près, lorsque est donnée la surface F. C'est pourquoi, en ayant 

 égard aux profondes recherches de M. Picard sur les surfaces admettant 

 un groupe de transformations birationnelles en elles-mêmes, je propose 

 d'appeler la variété cp (et le groupe G^) la variété (ou le groupe) de Picard 

 attachée à la surface F . 



D'après un théorème de M. Picard (Rendiconti del Circolo malhematico 

 diPalermo, i8g5. Voir aussi un Mémoire de M. Painlevé, Acta Mathematica, 

 t. XXVII), une variété telle que cp possède d intégrales distinctes de diffé- 

 rentielles totales qui, dans le cas actuel, sont de première espèce. SoitI,„('X) 

 une de ces intégrales (w = i, 2, . . ., rf). Si le point X parcourt une courbe 

 algébrique arbitraire y tracée sur 9, !„,(>.) devient une intégrale abélienne 

 de première espèce de y. Aux points de y correspondent sur la surface F 

 00' courbes du système S,/; par tout point (a-, y, z) de F passera un nombre 

 fini, k, de ces courbes, correspondantes aux points 'X''', X'^', . . ., î^'" de y. 

 Formons maintenant la somme : 



