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C'est une fonction Im(.r, y, 2) du point (oc, y, z) de F, fonction partout 

 finie sur F. C'est donc une intégrale de différentielle totale de la première 

 espèce de F. En attribuant à m les valeurs i, 2, . . . , d on obtient ainsi 

 rf intégrales. 



Il peut bien se faire vraiment que quelques-unes de ces intégrales (pas 

 toutes) se réduisent à des constantes, ou que les d intégrales ne soient pas 

 indépendantes. Mais on démontre que, si les d intégrales s'expriment 

 linéairement par S d'entre elles, la variété <p contient une série 00''"* de 

 variétés de Picard Vj à S dimensions, dont chacune est'transformée en elle- 

 même par les transformations d'un sous-groupe Gj du groupe de Picard G,;. 

 On reconnaît aussi l'existence sur cp d'une seconde série oc* de variétés de 

 Picard Vrf_s, qui se comportent d'une manière analogue par rapport à un 

 second sous-groupe Grf_5. Il suffit alors de remplacer la courbe y nommée 

 ci-dessus par deux courbes y,, y,, contenues, l'une dans une des Vg, l'autre 

 dans une des V^.g, pour retrouver ^ -h (d — ^) =: d intégrales distinctes 

 de F, et S de ces intégrales possèdent S systèmes de 2 S périodes; les inté- 

 grales restantes ont d — S systèmes de i{d — S) périodes. 



La surface F ne peut d'ailleurs posséder plus de d intégrales distinctes de 

 première espèce. On le voit en s'appuyant sur le théorème cité de M. Picard 

 et de M. Severi; par suite : 



Une surface ayant les genres pg, p^ possède pg — pa intégrales distinctes de 

 différentielles totales de première espèce et i(pg — p^) intégrales distinctes de 

 seconde espèce. Le continuum réel à quatre dimensions représentant la surface 

 a la connexion linéaire yo, ^ 2 {pg — /j^) + i . 



On remarquera l'analogie parfaite de ce résultat avec le théorème de 

 Riemann concernant les intégrales abéliennes relatives à une courbe algé- 

 brique de genre d. Au point de vue de la connexion linéaire, une surface 

 ayant l'irrégularité d correspond donc à une courbe de genre d. Même à la 

 courbe est attachée une variété de Picard à d dimensions, dont les points 

 représentent les séries linéaires complètes, non spéciales, d'un ordre quel- 

 conque, appartenant à la courbe (par exemple les groupes de 6^ points de 

 celle-ci). 



