SÉANCE DU 3o JANVIER igoS. 299 



primitif, es, p. io5, el Borel, Liions sur les fondions de variables réelles et les 

 développements en séi les (le polynômes, \i. 9). 



Plus récemment, M. René Baire m'a communiqué une démonstration de 



la généralisation de JM. Lebesgue, qui n'est pas plus simple que celle de 



M. Lebesgue, mais qui nie paraît, à certains égards, intéressante. Voici 



comment on peut l'exjjo'ser, en se bornant au cas du continu à une dimen- 



. siôn : 



Soienl donnés des intervalles tels (jue tout point du segment o — i soil inlérieiir à 

 l'un d'eux (le mol intérieur est pris au sens étroit, c'est-à-dire que les extrémités 

 d'un intervalle ne sont pas regardées comme intérieures à l'intervalle). A tout nombre x 

 compris entre o et i on peut faire correspondre un nombre e défini comme il suit : 

 soient ab l'un des intervalles contenant j; et h le plus petit des deux nombres positifs 

 X — u Bi b — .r ; le nombre e est la limite supérieure des valeurs de li qui correspondent 

 à tous les intervalles ab contenant x. Il est visible que le nombre e ainsi défini est une 

 fonction continue de x, lorsque x varie entre o et i ; cette fonction continue admet 

 donc une limite inférieure r, qu'elle atteint effectivement et qui, par suite, ne peut pas 

 être nulle. En désignant par i)' un nombre positif quelconque inférieur à r,, il est 

 visible que tout point x compris entre o et i est à l'intérieur d'un intervalle ab tel 

 que b — X sV X — a soient tous deux supérieurs au nombre déterminé •»)'; il est clair, 

 dès lors, que l'on peut recouvrir tout l'intervalle o — 1 par un nombre d'intervalles au 



plus égal à l'enlicr immédialenienl supérieur à — ; donc, par un nombre fini d'inter- 

 valles. C'est le résultat qu'on voulait démontrer. 



Cette démonstration de M. Baire n'est pas sans analogie avec celle que 

 Heine a donnée de l'uniformité de la continuité (^Journal de Crelle, t. 74). 

 C'est sans doute à cause de cette analogie que certains auteurs ont donné 

 au théorème dont il est question le nom de théorème de Heine-Borel. Il 

 semble d'ailleurs que l'on ait cru parfois que j'avais donné l'énoncé géné- 

 ralisé dû à M. Lebesgue, c'est-à-dire que l'on n'ait pas pris garde que mes 

 deux démonstrations (dont la première a des points communs avec celle 

 de M. Lebesgue) supposent toutes deux la dénombrabilité de l'ensemble 

 des intervalles donnés. Je suis heureux que l'occasion me soit offerte de 

 signaler la part qui est due à M. Lebesgue dans le théorème généralisé et 

 ses applications (voir sa Thèse et les Livres cités plus haut). 



La propriété énoncée dans ce théorème carac^e'me les ensembles fermés. 

 [Voir BoiiEL, Contribution à l'analyse arithmétique du continu (Journal de 

 M. Jordan, 190^, p. 329, et O. Veblen, The Heine-Borel theorem (Bulletin 

 of the American malhematical Society , 1904» p. 436).] 



En d'autres termes, pour quun ensemble E soit tel que, si chacun de ses 



