SÉANCE DU 6 FÉVRIER IpoS. 35g 



OÙ a esl fixe et où rj est le module duf^"'^ zéro d'un produit canonique d'ordre 

 (k, p) (^• ou p > o), converge ou diverge suivant que {k^, a) est plus grand ou 

 plus petit que (k, p). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégrale de Poisson et les lignes singu- 

 lières des fondions analytiques. Note de M. P. Fatou, présentée par 

 M. Painlevé. 



Considérons une série de Taylor 



/(z) = rt„ + rt, z -+-... + «„="+.. . 



dont le rayon de convergence soit égal à i; on peut exprimer /(g) et les a„ 

 par les formules de Cauchy 



l'intégration étant effectuée le long d'un cercle intérieur an cercle de con- 

 vergence. Dans quels cas peut-on prendre pourC le cercle de convergence 

 lui-même? Il en serait évidemment ainsi si /(s) était continue à l'intérieur 

 du cercle et sur le cercle. Mais cela n'est nullement nécessaire. 



Supposons seulement que/{:;) soit bornée à Tintérieur de son cercle de convergence, 

 mais ne faisons a priori aucune hypollièse sur la façon dont elle se comporte au voisi- 

 nage du cercle. S'il en est ainsi, on démontre, en s'appuyant sur des propositions dues 

 à M. Lebesgue, concernant l'intégrale des fonctions de variables réelles, que l'on peut 

 encore intégrer sur le cercle de convergence, autrement dit que la partie réelle et la 

 partie imaginaire de /(;) s'expriment par des intégrales de Poisson : 



I r"" I - /•- 



*" ' ' 2-J^^ I — 2/- COS(o — e) + /■-'" ^"^ ■' 



^'^ 37: J,, I — 2/-cos(<?— 6) + H ^^' ■' 



les fonctions g et h étant des fonctions discontinues de la première ou de la seconde 

 classe de M. Baire dont j'ai étudié la dépendance mutuelle ('). 



(') iNe sachant pas si la fonction a une valeur sur le cercle, c'est par un procédé 

 indirect que nous obtenons la définition des fonctions g et h; nous démontrons a pos- 

 teriori que /(<?)+ ig'if) est, en général, la valeur de la fonction /(;) au point d'ar- 

 gument o sur ce cercle. 



