36o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



L'étude de ces intégrales montre que, pour tout point du cercle de convergence, 

 sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle, /(:;) prend une valeur bien déter- 

 minée quand z tend vers ce point suivant un chemin faisant un angle fini avec la cir- 

 conférence. En tous ces points non exceptionnels la série est sommable par le procédé 

 de la moyenne arithmétique; d'ailleurs en fout point régulier du cercle la série est 

 convergente au sens ordinaire du mot. 



Ainsi, partant de l' hypothèse que /(z^ est bornée à Vintérieur du cercle, 

 on arrive à ce résultat quelle a, en général, une valeur sur le cercle, le sens de 

 cette phrase étant expliqué par ce qui précède (' ). 



D'autre part, les propriétés des séries de Fourier permettent d'affirmer 

 que la série |«o l' + l^'i |' -f-. ■•+ |«„ |" +. . . est convergente. Si donc, pour 

 une série de Taylor (de rayon de convergence égal à i), cette condition 

 n'est pas remplie, on est certain qu'elle |irend des valeurs infiniment 

 grandes au voisinage de certains points de son cercle de convergence. 



L'étude de l'intégrale de Poisson, quand les valeurs données sur le 

 contour ne sont pas bornées, peut être plus délicate. Celte étude, dans un 

 cas particulier, m'a conduit au résultat suivant : 



Étant donnés un cercle C et un ensemble E parfait de mesure nulle de 

 points sur ce cercle, on peut former des fonctions analytiques /(s), dé- 

 finies et holomor|)hes à l'intérieur de C, continues sur C et prenant la 

 valeur zéro en tous les points de E( = ). f{z) peut n'avoir comme points sin- 

 guliers sur le cercle que les points de E ; elle peut aussi avoir tous les points 

 de la circonférence comme points singuliers. 



On voit par là (\\xune fonction uniforme, ayant pour unique singularité 

 une coupure fermée, peut avoir une infinité non dénomhrahle de zéros sur la 

 coupure (f). 



On pourra aussi, en se servant de certaines intégrales définies^ bien 

 connues depuis les travaux d'Herniite et de Stieltjes, obtenir des fonctions 

 uniformes répondant aux mêmes conditions, mais définies dans tout le plan , 

 la coupure étant par exemple un segment de droite. 



L'expression / { ^^ du est particulièrement commode pour cet objet. 



(') 11 est aisé de généraliser cette proposition au moyen : i" d'une représentation 

 conforme; 2° d'une transformation homographique elTectuée sur f{z). 



C) Bien entendu, suivant tous les chemins intérieurs au cercle. 



(') Au sujet de cette question, on pourra consulter l'intéressante Thèse de M. Zo- 

 retti : Sur les fonctions analytiques uni/ormes, etc., p. 5o. 



