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qui a pour sommet un point quelconque O de l'espace à n dimensions j et 



appliqué cette solution fondamentale à la résolution du problème de Cau- 

 chy dans le cas de /î = 3. 



Je me propose maintenant de résoudre le même problème pour les équa- 

 tions à plus de trois variables, 



I. L;i généralisation au cas de n impair n'offre pas de difficulté. Au lieu 

 déformer les solutions analogues à celles de M. Volterra et de M. Tedone, 

 j'ai préféré, cette fois, partir directement de la solution fondamen- 

 tale, en employant, ici encore, la notion de partie finie d'une intégrale 

 infinie, qui intervient dans la solution relative à «^3. On obtient ainsi, 

 d'un seul coup, la valeur de l'inconnue au point O, en fonction des 

 données. 



Il est à remarquer, toutefois, que l'on est obligé de supposer celles-ci 



dérivables jusqu'à l'ordre ■ • La forme même de la solution obtenue 



paraît montrer que cette nécessité est dans la nature des choses. 



II. La méthode cesse, au contraire, de s'appliquer aux valeurs paires 

 de n, et cela pour deux raisons : 



i" La solution fondamentale n'est plus définie qu'à une fonction régu- 

 lière près (solution de l'équation) ; 



2° La notion Aq partie finie est également en défaut pour les intégrales 

 définies que l'on serait conduit à introduire, l'ordre d'infinitude de ces in- 

 tégrales étant entier. 



Nous allons voir que ces difficultés n'ont rien de fortuit et qu'il existe 

 une différence profonde entre le cas actuel et le précédent. 



Un artifice simple permet, en effet, de passer de l'un à l'autre et, par 

 conséquent, de résoudre le problème pour toutes les valeurs de n. 



Cet artifice consiste à introduire une variable supplémentaire z, en choi- 

 sissant les données de manière à ce que la solution soit indépendante de z. 

 Le problème ainsi modifié est évidemment équivalent au problème pri- 

 mitif; et cependant on est ramené, par cette modification, à une équation 

 contenant une variable indépendante de plus. C'est ainsi que l'on pourrait 

 retrouver les formules de M. Volterra relatives aux ondes cylindriques en 

 traitant ces dernières comme leur nom l'indique, c'est-à-dire comme des 

 ondes qui se propagent dans un espace à trois dimensions, mais qui sont 

 dues à un ébranlement distribué cylindriquement. 



En opérant ainsi pour une équation à /i = ^ln^ variables, on arrive à un 



