SÉANCE DU 20 FÉVIUER 1905. /jSq 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — La série de Taylor sur le cercle de convergence. 



Note de M. Paul Dièses. 



M. Pringsheim a démontré (') le théorème suivant : 

 Etant donnée une fonction analytique 



(.) f{.r) = ^a,,x-^ 



n —Il 



par son dé'^'eloppement taytorien de rayon de convergence égal à l' unité, si la 

 suite 



(S) |a-„|, I :?,',..., |i„| = !<-/„ + a, + ... + «„|, ... 



a pour limite l'infini, c'est-à-dire n'a pas de points limites finis ou nuls et si la 

 différence des arguments des s„ est inférieure en valeur absolue à - ■> la fonc- 

 tion /(j?) devient infinie au point i . 



Nous pouvons compléter ce résultat de la manière suivante : Admettons 

 que la suite (S) des s,^ (qui seront réelles comme les a„ pour plus de sim- 

 plicité) ait pour limite supérieure rinfini, mais supposons qu'elle ait aussi 

 des points limites finis ou nuls. Ce cas étant beaucoup plus compliqué que 

 le précédent, nous nous bornerons à supposer que les coefficients aient, 

 en valeur absolue, une limite supérieure finie. Dans ces conditions, nous 

 pouvons démontrer le théorème suivant : 



Si, pour les s„ positifs, on a 



OÙ a est un nombre fini, la fonction ia„a;" devient infinie au point i. 

 Nous démontrerons en effet que, dans le cas indiqué, on a 



( l\) lim — ^ lim — ^o 





(') Miinchner Silzungsbericlile, 1900, p. 40. 



C. K., ..,.0, i" Semestre. (T. CXL, N' 8.) ^•J 



