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et que s,, est positif pour n assez grand. Alors, en appliquant le théorème 

 de M. Cesaro (') sur les fonctions 



et 



nous aurons 



(i-j,-)- 





2" 



H=rO 



X" 



Z^^n^'^t 



lim j., , = lim -— — - = lim — — o, 



.v^i /(■^) .r=,y(-^-) „=.-■■ 

 {i-xy 



c'est-à-dire nous oblientlrons le théorème énoncé. Pour établir l'éga- 

 lité (4), nous procédons comme il suit. Supposons que 



lim \a,i\<^a <^i, 



ce qui n'est pas une restriction nouvelle, vu que nous avons supposé cette 

 limite supérieure finie et qu'en divisant la fonction par une constante con- 

 venable, les propriétés de la fonction resteront les mêmes. Dans la suite 

 finie 



± 



le nombre des termes qui sont plus grands que «' est au moins 



j j. • 



71-. a.,,- n- = ii-{-j.„— i) 



si ri' . a„ est la plus grande des valeurs de *,, 5., . . ., s„, à cause de la peti- 

 tesse des coefficients «„ qui constituent les .v„. [D'après notre hypothèse (2), 

 lim a„^ a; . ] Donc quand nous formons 



«z= oc 



''n = 4'o + *"l + • ■ • + *'n» 



les termes considérés tout d'abord donnent une somme supérieure ou 



i i 

 égale ù //'"./^\a„— i), c'est-à-dire que cette partie de c„ devient infinie 



d'ordre supérieur à 1. Les autres termes positifs ne diminuent point cet 

 (') Noir, par e\eni|)!c, lioREL, Leçons sur tes séries à Icrmes positifs, p. 6G. 



