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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du second ordre, 

 renfermant un païamètre. Note de M. G. Tzitzkica, présentée [iii- 

 M. Emile Picard. 



Dans nne Note publiée dernièrement, j'ai appliqué la méthode de 

 M. Picard à un problème traité par M. Mason et relatif à l'équation 



(i) y"-\-\A{x)y = o, 



A(a^) élnnt inie fonction continue et jjositive dans l'intervalle (a, /;) et \ un 

 paramètre. Je \ais indiquer maintenant comment on peut employer la 

 même méthode pour étudier les autres problèmes résolus par M. Mason. 



1. Il s'agit d'abord de trouver la valeur de \ pour laquelle (i) a une 

 intégrale y{x) continue ainsi que sa dérivée première, vérifiant les condi- 

 tions y (^a) — aj''(a) ^ o, y{b) -+- ^y'{b) = o (a, fi des constantes positives) 

 et ne s'annulant pas dans (a,b). La méthode de M. Picard s'applique ici 

 sans la moindre difficulté. Il suffit de remarquer que la soluiiou de 

 y" -h- A (a;) = o vérifiant les conditions [)récéd'-nles est 



y(a:) = , ^'^^-■'' r\^(, ) (c + a - .t) dz + , •'' f' ~ '" 



et que cette intéeiale est conslammeiit positive <ians (^a,b^. La suite des 

 raisonnements et des calculs dans le cas où a = ji = o est précisément 

 celle qui a été donnée par M. Picard. Dans le cas où a = P = oo, la valeur 

 de \ correspondante est nulle; ce n'est qu'en cherchant des intégrales 

 s'annulant un certain nombre de fois dans (a, A) que l'on trouve pour X 

 des valeurs différentes de zéro. D'ailleurs, dans ce dernier cas, le problème 

 se réduit à celui que j'ai étudié dans la Noie mentionnée. 



2. Considérons maintenant l'équation 



(2) y" -f- k h.{x)y = o, 



où A(a;) est positive, périodique et a pour période b — a. Soit k,, k.,, . .. 

 la suite qui intervient dans le problème de AL Picard. Je dis qu'en général 



