SÉANCE DU 30 FÉVRIER T90.'). /jqS 



il y a une valeur k' comprise entre X-, et k., el pour laquelle (2) admet une inté- 

 grale périodique . Voici d'abord le principe de la démonstration. 



Je considère une intégrale u{x) de (2) telle que l'on ait u(a) = u(b)= r, 

 et qui dépend naturellement de k. Si je démontre que pour X- = k' on a 



/ A(x) u(ôc)dx ^ o, on aura ( t- ) ^^ \d~-) ^^ l'intégrale sera pé- 

 riodique. Or, on a pour X- <^k^ le développement suivant : 



u(œ) = — '^—p H '—^ + '^0 + "'1 k -h ...-h iv„k" + . . . ( ' ) ; 



r'' 



alors l'intégrale I(X-) = / A(x) u(oc)d.v pourra, poar k = k\^ k,, mais 

 très voisin de k,, s'écrire 



T (k\ ) = —^r f A ( ^) ft' d.r + . . . 



X-> 

 et, pour X- = Xj <^ X'a, 



I(XO = — 4^/ A(^)^''r/.r-t-..., 



les termes non écrits pouvant être négligés. Il est aisé de voir que 



/A(x)u' !-/.<•>> o et l'on peut démontrer que / A(.t)v' dx^o. Dans le cas 



général on a / A(x)i'' dx"^ o et alors de I(X',)<o, I(X;',)>o on lire 



qu'il y a ]( X') = o (X-, < X-'< X\,); l'intégrale correspondante u(x) sera 

 périodique. 



Dans le cas spécial où / A(x)v' dx = o il y a aussi une intégrale périn- 



dique, c'est i''(x), qui satisfait à l'équation (2) pour X- = k^. 



En employant cette méthode on arrive à démontrer tous les résultats de 

 M. Mason. 



(') PlCAUD, Traité, t. III, p. 128. 



