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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l intégration approchée des équations diffé- 

 rentielles. Note de M. Emile Cottox, présentée par M. Emile Picard. 



Dans la méthode d'approximations successives développée par M. Picard, 

 et perfectionnée par M. Lindelof, on prend pour premières valeurs ap- 

 prochées les valeurs initiales des intégrales. En leur substituant des fonc- 

 tions satisfaisant aux mêmes conditions initiales que les solutions cherchées, 

 on parvient à des résultats simples, que je me propose d'indiquer ici. 



1. Pour abréger, restons dans le champ réel, et considérons une seule 

 équation 



(I) ^.=/(--r)- 



Soit j>', une fonction de x satisfaisant aux conditions suivantes : 



Dans un intervalle (1) (x^, cCf^-i- a, a|>o), celte fonction est bien dé- 

 finie, continue, admet une dérivée qui peut être discontinue pour des 

 valeurs isolées de x. 



De plus, dans le domaine D limité par les lignes a; = a7„, .-r = x„ -+- a, 

 y := y^ — b, y = y , -j- h (h "^ o), /{^x,y) est bien définie, continue, el s:itis- 

 fait à la condition de Lipschilz \f(cc, y) — /(.x\y')\ <ik\y — .X'I- 



Soient Vo la valeur de y, pour x = x„, m un nombre supérieur au mo- 

 dule de f(x,Y) — ^ lorsque x, y reste dans D, [j. un nombre supérieur 

 au module de /(.r, y, ) — !-^ lorsque x reste dans (I). Appelons h un 

 nombre positif inférieur à a (I, au plus grand des deux nombres — i 



Dans l'intervalle x„, x^^-i-h, il existe une intégrale Y de l'équation (i), 

 et une seule, continue, prenant pour x ^^ Xg la valeur Vn» ^' f*" module de la 



différence Y — y, est inférieur à -, [e* "■ ■'' — i]. 



Ce résultat s'établit soit en |irocédaiit comme M. Picard et M. Lindelof 

 l'ont fait lorsque y^(^x') = y^, soit en ramenant le cas général à ce cas 

 particulier au moyen du changement d'inconnue j(a;) = j|(a7) -h u(x). 



On voit que, si a est petit, ce qui précède fait correspondre, à toute fonction 

 satisfaisant à peu prés à l'équation différentielle, un renseignement sur l'exis- 

 tence et la valeur approchée d'une solution exacte. 



