SÉANCE DU 20 FÉVRIER igoS. /j95 



2. Montrons maintenant que la connaissance d'un intervalle (E) où il 

 existe une intégrale régulière de (^i) permet de donner un critérium simple ser- 

 vant à reconnaître qu'une fonction donnée est assez prés de satisfaire à l'équa- 

 tion différentielle pour ne s'écarter de la solution exacte, dans tout l'inter- 

 valle (E), que d'une quantité inférieure à un nombre donné. 



D'une façon précise, soit Y une intégrale de (i), définie dans l'inter- 

 valle (E), [x„, .î„4- A(/i >-o)], continue, prenant pour x =^ x^ la valeur jj, 

 et supposons que, dans le domaine A limité par les lignes x=^x^, 

 a; = a^, + /ï, j = Y— £, j — Yh- £ (e > o), la fonction f(x,y) soit con- 

 tinue et satisfasse à la condition de Lipschitz. 



D'autre part, u étant une fonction de x définie et continue dans 

 l'intervalle (E), prenant la valeur y^ pour x = x^, admettant une dérivée 

 (qui peut être discontinue comme plus haut), appelons ;y. un nombre su- 

 périeur à f(x,u) T- dans l'intervalle (E). 



Si ij. est assc:: petit pour que 



(2) .^(e^/<_x)<s, 



la différence Y — u est inférieure en module à t dans tout l'intervalle (E) et, 

 tl'une façon plus précise, x appartenant à (E), on a 



|Y-</|< ^((>'^--^.'-i). 



Pour le démontrer, observons que, u étant continue, il existe un inter- 

 valle (E')[a?„, .r„ + h' (o <[ h"Sh)] où l'on a | Y — u\ <^ z. Nous prendrons h' 

 aussi grand que possible : pour la valeur limite x^-h h', |Y — m|=:£, si 



On peut écrire 



Y-u=£'\f(x,Y)-f(x,u)\dx+f' [j(x,u)~'^^dx, 

 et, en supposant x intérieur à (E'), 



(3) I Y - M 1< /• r I Y - M I f/a' + >^.(x - x^). 



Faisons passer l'intégrale dans le premier membre, nous pouvons écrire 

 négalité obtenue de la façon suivante 



e-*'-^--'»' f \Y - u\dx\<ii,. (^ - -ï^o) «"*'•""■'■'''. 



dx 



