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d'où nous tirons, en intégrant de .z-„ à x et multipliant par r''-^— 'V, 



(4) fjY-u\dx<l[ '''-'^-' -(cc-a;)\. 



Des inégalités (3) et (4) nous déduisons 



ce qui nous montre, en vertu de (2), que h' ne peut être inférieur à h, et 

 la proposition est démontrée. 



3. On établit aisément avec ce qui précède la propriété fondamentale 

 de la méthode de Cauchy-Lipschitz, bien mise en évidence par les travaux 

 de MM. Picard et Painlevé, relative à l'approximation d'une intégrale 

 de(i) dans tout son domaine de régularité. Inversement, la méthode 

 de Caiichy-I.ipschilz semble devoir conduire à des résultais analogues à 

 ceux du n" 2, mais en imposant sans doute à la solution approchée des 

 restrictions plus étroites. 



4. Soil D un domaine compris entre deuv parallèles qiie]con(|ues à l'axe des r, où f 

 est continue et satisfait à la condition de Lipschitz. La recherche d'une approvinialion 

 uni/orme pour les intégrales de (i) situées dans D revient à la détermination d'une 



fonction ce(:r, r) telle que 



dy 

 dx 



:(p( j', y) soit intégrable, et que le module de / — «■ soit 



assez petit dans le domaine D. 



Appelons S et - les surfaces z ^^f{jr,y) el z :rz o{u-,y). Parmi les divers procédés 

 que l'on peut imaginer pour construire S et (s connaissant / et S, je signalerai le sui- 

 vant qui, sans doute, se rattache étroitement à la méthode de Cauchy, mais qui donne 

 une construction géométrique simple des solutions approchées. 



On coupe S et S par des plans équidistants entre eux, parallèles à -rOy, la distance 

 de deux plans consécutifs étant d'autant plus petite que l'on veut avoir une approxi- 

 mation plus grande. A chaque partie 5 de S comprise entre deux plans consécutifs F, P', 

 on fait correspondre une partie a de S constituée par la projection (j)arallèlement à Oz) 

 des sur le plan II équidistant de P et de P'. 



Géométriquement, on fait, sur le plan xOy, la représentation topographique, par 

 courbes de niveau cotées, de la partie S correspondant à D. Dans ce domaine, toute 

 solution de (i) est représentée approximativement par une brisée dont les sommets 

 sont sur les courbes de niveau, le coefficient angulaire de chacun des côtés de la brisée 

 est la demi-somme des cotes des courbes de niveau auxquelles il aboutit. 



