SÉANCE DU 27 FÉVRIER igoS. 563 



on trouve 



A,| désignanl le mineur relatif au premier clément du déterminant. 



La condition A,|^o donne les familles de surfaces moulures cylin- 

 driques. Reste la condition ^1.,= o. Donc, si l'on écarte les familles de sur- 

 faces moulures cylindriques, la condition nécessaire et suffisante pour que la 

 famille u(cc, y, z) = p adnv tl.e des trajectoires orthogonales planes dans des 

 plans parallèles à Ox et constitue une famille de Lamé, est que la fonction 

 u[.T, y, s) satisfasse à une équation de la forme 



' = A^ + B, 



\'ll\ -h ul- 



A et E désignant deux fondions quelconques de u. 



Si, d'après une mélliode donnée par M. Darboux, on recherche une solu- 

 tion complète de la forme 



{x — a)- 4- (y — t')- -T- {z — wy — ?,^--=o, 

 on trouve que v et w sont des constantes et que l'on peut prendre 



a = (P(m) + ae"H- (îe-", R = «', 



(P(h) désignant une fonction quelconque, a etp deux nouvelles constantes. 



De cette solution complète nous déduisons la solution générale. D'où le 

 résultat suivant : 



i" Toutes les familles de surfaces représentées par les équations 



.(4-5 + ^^)6'» 



sont des familles de Lamé et admettent des trajectoires orthogonales planes 

 dans des plans parallèles à Ox. 



2" Réciproquement, si l'on écarte les familles de surfaces moulures cy- 

 lindriques, toutes les familles de Lamé admettant de telles trajectoires 

 orthogonales sont comprises dans ces formules. 



3° On obtient les surfaces de la famille en laissant u constant. On obtient 

 les trajectoires orthogonales en laissant r, w constants. 



Eu particulier, l'équation du plan de la courbe est 



