SÉANCE DU 27 FÉVRIER igoSi 565 



les surfaces, biratioiinellement distinctes, de genre géométrique p^=^ o et 

 de genre numérique /?„<; o. En conséquence je suis parvenu à exprimer 

 d'une façon très simple les conditions pour qu'une surfi»cey(a;, j, s) = o 

 puisse être transformée en un cylindre F(X, Y) ^ o. 



On a d'abord les théorèmes suivants : 



Une surface de genres 



/h,= o, f>„<—i 



correspond loujours à un cylindre (dont la section plane a le genre — /)„). 

 Une surface de genres 



admet un groupe continu de transformations birationnelles en elles-mêmes, 

 groupe dépendant d'un paramètre d' une façon elliptique; les courbes (ellip- 

 tiques) trajectoires du groupe forment sur la surface un faisceau rationnel. 



Les surfaces admettant un groupe elliiîtique co' de transformations birationnelles en 

 elles-mêmes ont été signalées d'abord par l'aEialjse profonde à laquelle M. PicarJ a 

 soumis le problème général des groupes algébriques; M. Painlevé, en poursuivant 

 l'étiiile de ces surfaces, a établi qu'elles admettent une représentation paramétrique 

 caractéristique, à l'aide de fonctions algébriques d'un paramètre, et elliptiques d'un 

 autre. C'est pourquoi les surfaces qui nous occupent peuvent être appelées des sur- 

 faces elliptiques. 



Les surfaces elliptiques n'ont pas, en général, le genre 



mais il suffit pour cela que les trajectoires du groupe correspondant forment un 

 faisceau rationnel. 



La l'eprésentation paramétrique citée permet maintenant de construire tous les types 

 de surfaces elliptiques de genre pg-^o; la conîtruction de celles qui ne se ramènent 

 pas à des cylindres constitue un problème de transformation de fonctions elliptiques. 

 Le cas où le déterminant /i(>i) de la transformation est un nombre composé se 

 ramène au cas de n nombre premier, auquel nous nous bornerons ici, pour plus de 

 simplicité. 



On obtient alors les types représentés par les éijuations suivantes : 



{ Y=:y/(,/]co,co'|), Z^v, 



t"—i, £3^1, l>i, ///< n, /i,+ A, 4-. . . -f- //,= o (mod/j) 



ti=/i(o, il' ^ lu' , ro =: (u 



OU bien 



ii =; oj — viu'. 12'=z /io)', m z= (u' (v :^ o, l , 2, . . . , « - 



