566 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Il est aisé de trouver un caractère simple invariant qui distingue les sur- 

 faces elliptiques (i) des cylindres. 



Élant donnée, en général, une surfacey(a7, j, s) = o d'ordre m et de 

 genre /)„ = o, il y a lieu de considérer les surfaces Orun-o d'ordre /(m — 4) 

 ('\> ')' *!"' ^® comportent, le long de la courbe double de/, comme si 

 celle-ci avait pour cp la multiplicité /•; le nombre P^ des <!)ri,n-k) linéairement 

 indépendantes constitue un caractère invariant de /, ainsi que je l'ai dé- 

 montré en 189G; on appelle P^. le genre -cl' ordre r de la surface /; on a 

 d'ailleurs 



P.=/.,. 



Or, en calculant P^ pour les surfaces (1), on trouve 



P, = ^ - 3 

 et, pour l = "5, 



ou bien 



p >,. 



tandis que pour les cylindres on a toujours 



P,.=r o (r= I, 2, :S. . . .). 



Il en résulte ainsi une expression simple des conditions pour qu'une sur- 

 face de genre ^„<< o puisse être ramenée à un cylindre ; il suffit que l'on ait 



P., == P,-, = o. 



Or, si/;i„= o, ces mêmes conditions entraînent la rationalité de la sur- 

 face, car les conditions établies par M. Castelnuovo (^p^=V.,=-o) se 

 trouvent satisfaites. 



On aura donc le théorème suivant : 



Les conditions pour quune surface algébrique f{.v, y, z) ^^ o puisse être 

 transformée hirationnellement en un cylindre [«"(X, Y) = o s' expriment sim- 

 [ilemciit par les équations 



l'., = P„ = o. 



