SÉANCE DU 27 FÉVRIER igoS. 56'] 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions d'une infinilè de variables. 

 Note (le M. Maurice Fréchet, présentée par M. P. Painlevé. 



La plupart des théorèmes sur !es ensembles linéaires de points ont pu 

 être généralisés dans l'espace à n dimensions. Je me propose de montrer 

 qu'on peut pousser cette extension jusque dans un espace E. à une infinité 

 dénombrable de dimensions. Une telle généralisation n'a rien d'artificiel : 

 un grand nombre ties éléments qui s'introduisent dans l'Analyse peuvent 

 être envisagés avec profit comme déterminés par une suite infinie de 

 variables indépendantes. Ainsi, une fonction holomorphe est connue 

 lorsqu'on se donne les coefficients a,, a.,, ...,«„, ... de son développe- 

 ment. On peut donc dire qu'elle correspond à rni point de l'espace E„ ayant 

 pour coordonnées a,, a.,, . . . , a,„ . . . 



La seule définition vraiment nouvelle qu'il v ait lieu d'introduire pour 

 réaliser cette extension est celle de la limite d'une suite de points. Si A 

 et A„ ont respectivement pour coordonnées a,, a.,, ..., a^„ ..., 

 et a'-"\ a\"\ . .., a'^''\ . . . , nous dirons que la suite de points A,, A.. . . . , A„, . . . 

 tend vers A, lorsque, quelque soit/>, la suite des nombres a',", . . . , a'"\ . . . 

 tend vers le nombre cij, ('). Les définitions de point-limite d'un ensemble, 

 d'ensembles dérivé, fermé, parfait se déduisent alors de la précédente 

 comme dans l'espace ordinaire. Nous dirons encore qu'un ensemble de 



points A de coordonnées («,, a., «„...) est limité si, pour tout point A 



de l'ensemble, on a 



|«.|<M , la„|<M„, 



(M,, Mo, . . ., nombres fixes pour tout l'ensemble). Nous appellerons aussi 

 point de condensation d'un ensemble g, tout point qui reste point-limite de 

 l'ensemble obtenu en supprimant de g un ensemble dénombrable qiiel- 



(') Celte définition satisfait aux deux conditions imposées à la défiailion la plus 

 générale de la limite dans la Note des Comptes rendus du 21 novembre 1904 : Géné- 

 ralisation cfiin théorème de Weierstrass. De plus elle correspond bien aux définitions 

 usuelles, car si, par exemple, une fonction /„ holomorphe dans un cercle fixe y a un 

 module borné, elle tend uniformément vers/, si le point correspondant à/„ dans E„ 

 tend au sens indiqué vers le point correspondant à_/"et réciproquement. 



