SÉANCE DU 27 FÉVRIER igOD. o6() 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques théorèmes de Riemann. 

 Noie de M. P. Fatou, présentée par M. Painlevé. 



Dans son célèbre Mémoire Sur la représentation d'une fonction par une 

 série tri^onométriquc, Riemann a fait connaître une condition nécessaire et 

 suffisante pour la convergence d'une série de la forme 



<7„ + («, COS./; + b^ sina-) + . . . + («„ cos«a: + b„ sin/2.r) + . . . 



pour laquelle on a 



limfl„ = o, iim/>„=o. 



Il résulte de la condition que donne Riemann (') que la convergence de 

 la série en un point ne dépend que de la façon dont se comporte, au voisi- 

 nage immédiat de ce point, la fonction F(a') représentée par la série con- 

 vergente qui s'obtient en intégrant deux fois de suite terme à terme la série 

 proposée. 



On peut déduire de ce critère de convergence un résultat intéressant au 

 point de vue de la recherche des points singuliers d'une fonction définie 

 par son développement en série de Taylor, à savoir : 



Une série de Taylordont le rayon de convergence est égal à i, et dont les 

 coefficients tendent vers zéro, est convergente en tout point non singulier de son 

 cercle de convergence. 



Une upplicalioi) convenable du piincipe de multiplication des singularités 

 de M. Hadamard, par exemple la substitution à la série de Taylor consi- 

 dérée de l'une de ses dérivées généralisées, permettra d'ailleurs d'étendre 

 considérablement le champ d'applications de ce théorème : toutes les fois 

 que l'on obtiendra ainsi une série ayant mêmes singularités que la série 

 proposée et dont les coefficients tendront vers zéro sans former une série 

 absolument convergente, tous les points de divergence que l'on pourra 

 trouver sur le cercle de convergence seront des points singuliers. Si les 

 coefficients de la série ne tendent pas vers zéro, mais restent finis, la 

 somme des n premiers termes doit, pour tout point régulier du cercle de 

 convergence, osciller entre des \\m\\e^ finies . 



A un autre point de vue, je signalerai les extensions que l'on peut donner 



(') Riemann's Malheinatische Werke, éd. Weber el DedekiruI, p. 238. 



C. B., iyo5, I" Semestre. (T. CXL, N" 9.) 7"^ 



