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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les trajectoires orthogonales 

 d'une famille de sur/aces. Note de M. Gaston Darboux. 



I. Dans une Note placée à la suite d'une Communication de M. S. Gar- 

 nis (p. 2X1 de ce Tome), j'ai présenté quelques remarques relatives à 

 l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui définit les surfaces 

 dont les trajectoires orthogonales sont planes. Je me propose aujourd'hui 

 de montrer que ces remarques se rattachent à une théorie générale et 

 peuvent être étendues aux cas oîi les trajectoires orthogonales de la famille 

 de surfaces considérée doivent satisfaire à des conditions très variées. 



Soit 



(i) f(x, y, z) = cons,t. 



l'équation en coordonnées rectangulaires d'une famille de surfaces. Si l'on 

 introduit, comme je l'ai déjà fait, une variable auxiliaire /, les trajectoires 

 orthogonales de la famille seront définies par les équations aux dérivées 

 partielles 



(2) 



Cela posé, considérons une surface déterminée <p, définie par l'équation 



(3) <p(.T, 7, s, a,, rto, ..., «„) = o, 



qui contient n paramètres a,, a,^, . . . , a„. La surface ç sera, par exemple, 

 un plan, une sphère, une quadrique, etc., assujettis ou non à certaines 

 conditions. Proposons-nous de disposer des paramètres a,, a.,, ...,«„ de 

 telle manière que la surface cp ait, avec une des trajectoires orthogonales 

 des surfaces définies par l'équation (i), le contact le plus élevé possible. 

 On déterminera ainsi ce que l'on appelle d'ordinaire les sur/aces tp oscula- 

 Irices aux trajectoires. Si l'on désigne par le symbole A l'opération 



dx dx ày dy dz dz 

 et si l'on pose 



(4) ?, = A^ 



df/-i 



~dr' 



