SÉANCE DU 6 MARS igoS. 619 



les paramètres a,, a^, ..., a„ de la surface «p osculatrice, au point {^x, y, s), 

 à la trajectoire orthogonale qui passe en ce point devront satisfaire aux 

 équations 



(5) <p = o, (p, = o, ..., <p„_, = o 



qui les détermineront en général. Ces paramétres a,, a.,, . . . , a„ deviendront 

 ainsi des fonctions de x,y, :■ et des dérivées des n — i premiers ordres de f. 



2. Cela posé, proposons-nous de chei-cher toutes les familles de sur- 

 faces /pour lesquelles la surface osculatrice tp est la même pour tous les 

 points de chaque trajectoire orthogonale, c'est-à-dire pour lesquelles 

 chaque trajectoire orthogonale est sur une des surfaces cp définies par 

 l'équation (3). 



S'il en est ainsi, on pourra évidemment ajouter aux équations (5) les 

 suivantes, en nombre indéfini, 



9„ = o, <p„^, = o 



Nous allons voir qu'il suffit d'adjoindre la première 



(6) <P« = o, 



et qu'en portant dans cette équation les valeurs de a^, a.,, ••.,«« déduites 

 des équations (5), on aura l'équation aux dérivées partielles du /î'*^"* ordre, 



(7) i2 = o, 



qui donnera la solution du problème proposé. 



En effet, reprenons les équations (5) et appliquons à chacune d'elles 

 l'opération que nous avons désignée par le symbole d. En tenant compte 

 (le ces équations elles-mêmes, nous serons conduits au système suivant : 



dv . d'9 . 



-r-î-Art, -f- . . . + -T-^ Aa„ =0, 



w \%^' +-+Ê^". 



o, 



(/«i da„ 



A«,-t-...+ ^^Aa„=- 



et l'on voit que, tant que le déterminant 



(i =0, I, 2, ...,« — i) 

 {k = I, 2, 3, .... n) 



(9) D 





