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ne sera pas nul, l'équation (6) entraînera cette conséquence qu'en chaque 

 point de l'espace on aura 



^«' = 777 = "' 



c'est-à-dire que les fonctions «, demeureront constantes lorsqu'on se dépla- 

 cera sur une même trajectoire orthogonale. 



Ainsi, toutes les solutions de f équation (7) pour lesquelles le déterminant D 

 ne s'annule pas donneront des solutions du problème proposé. 



3. De là résulte immédiatement un mode de détermination de ces solu- 

 tions qui constitue une véritable intégration partielle de l'équation (7). 

 Puisque les fonctions a,, a.,, ..., «„ demeurent constantes en tous les 

 points d'une même trajectoire et ne flépendent |)ar conséquent que des 

 deux paramètres qui suffisent à déterminer cette trajectoire, il est clair 

 qu'elles sont toutes fonctions de deux quelconques d'entre elles et qu'en 

 établissant, par exemple, n — 1 relations 



(10) a,= 0,(a,.«,) (/=3.4 n), 



on aura n — 2 intégrales premières de l'équation (7). C'est là un résultat 

 très intéressant, mais il est inutile de s'y arrêter. Il vaut mieux porter les 

 valeurs 6,(a,,an) de a,, ..., a„ dans l'équation (3) qui prendra la forme 



(il) <^{x,Y,z,a,,a.,) = o, 



et comme cette nouvelle éi]ualion ne contient plus que deux constantes, 

 on voit que la solution du problême proposé sera ramenée à l'intégration de 

 l'équation du second ordre que l'on obtient en éliminant a,, a., entre l'équa- 

 tion (il) et les deux suivantes 



^^ — o, A-$ = o. 



Nous avons eflectué ainsi, en introduisant n — 2 fonctions arbitraires, 

 n — 1 intégrations successives de l'équation proposée (7). 



4. Dans la discussion qui précède, nous avons négligé les solutions de 

 l'équation (7) pour lesquelles le déterminant D serait nul. Il est facile de 

 voir qu'il existe en général de pareilles solutions. 



Remarquons d'abord que, si l'on porte les valeurs de rt,, Oo a„ déter- 

 minées par les équations (5) dans le déterminant D, la relation 



(12) D = o 



