69S ACABÉMIE DES SCIENCES. 



formules (2) définiront évidemment une surface réelle (1) applicable sur 

 le parabolo'ule proposé. En y changeant le signe de ç, ç,, cpa, on obtiendra 

 les formules suivantes : 



[ ^' = T (/' '?^—A ? . ) + 7 /(/. if 2 —A ^'/. ) - 7 /(? > d'^2 - ?. f/? . ) . 



qui détermineront une nouvelle surface réelle (2). Cette surface sera, elle 

 aussi, applicable sur le paraboloïde proposé. Les deux surfaces (1), (!') 

 sont tangentes a la droite qui unit leurs points correspondants M, M' et 

 elles consliLuent les deux nappes de la développée d'une surface normale 

 à toutes les positions de la droite MM'. 



2. Si l'on définit la fonction H par l'équation 



on reconnaît immédiatement que cette fonction est réelle et positive et 

 même supérieure à i. On peut poser 



/ cp r// + d'f 

 /i 9t '■'^1 + ^91 



/2 92 ^^f-2 + (^2 



(7) 



et 



(8) 



= if(H + ,)rfV 



/ 9 if - d? 

 A 9f if - ^9< 

 A 92 ^Â - df.> 



= ^(H -i)rfU, 



U et V étant des fonctions réelles. En les introduisant, on peut mettre l'élé- 

 ment linéaire de (2) sous la forme 



(9) 



4 11 — I ^ ^ 



et celui de {!') sous la forme semblable 



(10) 



ds" = 



T°- H 



i H 



-f/H-+(2H-l-2)û?V= 

 I ^ ■' 



Ces formules montrent bien que (2) et (2) sont applicables sur le para- 



