SÉANCE DU l3 MARS IQoS. 699 



boloïde défini par l'équation (i). Mais il y a à cet égard une différence 

 entre les deux surfaces qu'il importe de signaler. Tandis que, pour le 

 premier élément, l'application sur le paraboloide est réalisée par les 

 formules 



(il) a? = T \/2 H — 2 cos — ) j = Tv/aH — 2sin— ) :; = -(H — i), 



qui font correspondre un point réel de (i) à un point réel du. paraboloide; 

 pour le second élément, au contraire, l'application est déterminée par les 

 formules 



(12) a7 = T«y/2H + 2COS— :> J = T «\/2 fl + 2 sin — .> S = (H + l), 



qui font correspondre la nappe réelle de (2') à une nappe imaginaire du 

 paraboloide proposé. 



3. On n'a pu encore déterminer toutes les surfaces algébriques qui 

 peuvent être fournies par les formules (2) ou (5). La solution de ce pro- 

 blème dépend, comme on sait, de la recherche des courbes algébriques à 

 torsion constante. Malgré les efforts d'un grand nombre de géomètres, 

 cette question, aussi intéressante au point de vue analytique qu'au point de 

 vue géométrique, n'a pu être encore entièrement résolue. Je me propose ici 

 de faire connaître des surfaces particulières algébriques qui sont sans 

 doute les plus simples de toutes celles qui sont définies par les formules (2) 

 et (5) et de montrer ensuite comment on peut en faire dériver une suite 

 illimitée de solutions du problème. 



D'après la relation (3), la courbe imaginaire décrite par le point de 

 coordonnées /, /, , J\ est tracée sur la sphère de rayon i . Parmi toutes les 

 courbes tracées sur la sphère, le cercle est la plus sinîple et, parmi tous les 

 cercles, le plus simple est celui qui est contenu dans un plan isotrope. En 

 choisissant convenablement les axes, on pourra ramener l'équation de ce 

 plan à la forme simple 



X -\-iy =^ a, 



où a désignera une constante réelle et positive. Les valeurs correspon- 

 dantes de y, y, , f.^ s'en déduiront et seront 



/■ o\ r I + «^ — a'^ .. . I ^ — a^ — a- ^ 



<;'3> /= 2a ' -/'^^ aa ' /^ = ^'^ 



Celles de 9, «p,, cp,, qui doivent être imaginaires conjuguées, seront de 



